ZOJ3415 Zhou Yu(期望推式子)

Posted 2022-07-30 issue是fw

传送门

定义$f[i]$是$i$到$i-1$的期望

$f[n]=\frac{1}{m}(1+f[n])+\frac{m-1}{m}$

那么$f[n]=\frac{m}{m-1}$

且$f[i]=\frac{1}{m}\ast (f[i]+f[i+1])+1$

$\frac{m-1}{m}\ast f[i]=\frac{1}{m}\ast f[i+1]+1$

化简得到

$$f[i]=\frac{1}{m-1}\ast f[i+1]+\frac{m}{m-1}$$

这样可以在线性的时间开始递推,但是仍然不够优秀

我们再用迭代的方式进去

$$f[i]=\frac{m}{m-1}+\frac{m}{(m-1{)}^2}+...\frac{m}{(m-1{)}^{n-i+1}}$$

就是求这个东西$$\sum _{i=1}^{n}f[i]$$

那么定义$g[i]=\frac{m}{m-1}+\frac{m}{(m-1{)}^2}+...\frac{m}{(m-1{)}^i}$

那么有$\sum _{i=1}^{n}g[i]=\sum _{i=1}^{n}f[i]$

$$\begin{gathered} q=\frac{1}{m-1} \\ {g}_i=\frac{mq(1-q^i)}{1-q} \\ \sum _{i=1}^n{g}_i=\frac{mq}{1-q}\ast (\sum _{i=1}^{n}1-\sum _{i=1}^n{q}^i) \\ =\frac{mq}{1-q}\ast (n-\frac{q\ast (1-q^n)}{1-q}) \end{gathered}$$

于是开始在log的时间内求解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
double quick(double x,int n )

	double ans = 1;
	while( n )
	
		if( n&1 )	ans = ans*x;
		x = x*x; n>>=1;
	
	return ans;

int main()

	while( cin >> n >> m )
	
        if(m == 2)
        
            printf("%.10lf\\n", 1.0 * n * (n+1));
            continue;
        
		double q = 1.0/(m-1);
		double power = q*( quick(q,n)-1 )/(q-1 )-n;
		double ans = power * m * q / (q-1);
		printf("%.8lf\\n",ans);