最长递增子序列LIS

Posted 2022-06-11 血影雪梦

本总结是是个人为防止遗忘而作，不得转载和商用。

题目

         给定长度为N的数组A，计算A的最长的单调递增的子序列(不一定连续)。

         如：给定数组A5,6,7,1,2,8，则A的LIS为5,6,7,8，长度为4。

方法一

         使用LCS解LIS问题：

                  原数组为A 5， 6， 7， 1， 2， 8

                  排序后：A’1， 2， 5， 6， 7， 8

                  因为，原数组A的子序列顺序保持不变，而且排序后A’本身就是递增的，这样，就保证了两序列的最长公共子序列的递增特性。如此，若想求数组A的最长递增子序列，其实就是求数组A与它的排序数组A’的最长公共子序列。

         PS：LCS见http://blog.csdn.net/xueyingxue001/article/details/52916554

方法二 - 动态规划

         如果直接由An得出结论，如：根据8得出LIS为5678是不好做的，那么就把n降一将，先A0=5开始，求以5结尾的LIS，然后从A0推出A1，即：以6结尾的LIS，然后从A0和A1分别推出A2，即：以7结尾的LIS，以此类推，下面举个例子。

         求数组1, 4, 6,2, 8, 9, 7的LIS。

         假设当前已经求出了A0 ~A5：

                   A0：当前已经求出以1结尾的LIS时1，长度为1；

                   A1：以4结尾的LIS时14，长度为2；

                   A2：以6结尾的LIS为146，长度为3；

                   A3：以2结尾的LIS为12，长度为2；

                   A4：以8结尾的LIS为1468，长度为4；

                   A5：以9结尾的LIS为14689，长度为5；

         现在求Ai+1(A6)，即求以7结尾的最长LIS：

                   A0->A6：将7放在1后面可以，此时长度为2；

                   A1->A6：将7放在14后面可以，此时长度为3；

                   A2->A6：将7放在146后面可以，此时长度为4；

                   A3->A6：将7放在12后面可以，此时长度为3；

                   A4->A6：将7放在1468后面不可以，因为7比8小；

                   A5->A6：同上，不行。

                   那A0->A6、A1->A6、A2->A6、A3->A6中最大的是谁呢？是A2->A6，因此A2->A6的结果1467就得到了。

         话说这题单纯肉眼就能得出结论，因此这个的更重要的意义是学习动态规划。

方法三 - 贪心法

         求数组1, 4, 6, 2, 8, 9, 7的LIS。

         1，创建一个足够大的缓冲区

         2，从左向右取：

                   第一个1放在缓冲区

                   第二个4放在缓冲区末尾，放上去后让4和前面的依次比较，如果a[i]=4> a[j]，那就让a[j+1] = a[i]，这里不存在此情况，所以缓冲区还是14

                   第三个6放在缓冲区末尾，然后比较，缓冲区为146

                   第四个2放在缓冲区末尾，然后比较，当2和1比较时，因为2>a[0]=1，所以令a[0+1]=2，所以缓冲区为126

                   同理把8、9、7也依次代入，最后缓冲区为12679

         3，到此所有数遍历完毕，当然现在缓冲区存留的12679不是LIS，不过！长度是LIS的长度！

         这是为什么？

         是这样，首先从左向右取的时候，146的LIS是146没问题吧，而当遍历到1462时，1462的LIS还是146，2没用，于是我就想个办法把2替换到数组中，这样数组的长度就一定是LIS的长度了(虽然内容不是LIS)

         话说，刚才在第二步介绍的比较可以用折半查找，不用一个个比较。

         再话说，当从12689得出12679时不需要知道之前的内容，所以这个本质上是贪心。