C/C++中如何判断浮点类型相等？

Posted 2022-05-25 -飞鹤-

1. 浮点类型在计算中的存储格式

1.1. 小数的科学计数法

科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。例如：19971400000000=1.99714×10^13。计算器或电脑表达10的幂是一般是用E或e，也就是1.99714E13=19971400000000。

1.2. 计算机中小数的存储格式

计算机中小数的存储格式依据IEEE 745标准制定，其有三种精度标准。分别为单精度、双精度以及扩展精度。C/C++中主要用到单精度和双精度类型，即float和double类型。

科学计数法中指数的底数是10，但是计算机存储中默认的指数底数为2.
例如，19.625，其float类型的2进制表达为：0 - 10000011 - 001 1101 0000 0000 0000 0000
尾数：

1. 整数部分的二进制形式为：19 = 124 + 023 + 022 + 121 + 1*20 = 10011
2. 小数部分的二进制形式为：
   0.625 * 2 = 1.250 取整 1
   0.250 * 2 = 0.5 取整0
   0.5 * 2 = 1.0 取整1
   0.0 * 2 = 0
   0.625 = 12-1 + 02-2 + 1*2-3 = 101
   101反向：（((1/2 + 0)/2 + 1)/2 = 0.625
3. 整数加小数2进制10011.101
4. 尾数 val 必须 1 ≤ val＜ 2，所以还需要再将小数点向左移动4位：1.0011101*2⁴

指数部分
2⁴，指数4即为指数部分。
符号位
正数0，负数1。

2. 浮点类型比较

示例1
0.5的float浮点存储格式为：1*2^-1。
0.1的float浮点存储格式为：因为0.1乘以2，永远无法凑整，所以0.1的尾数只能取近似值，而不是完整存储。
示例2
double a = 10000000000.000011;
double b = 10000000000.000008;
绝对误差：d1 = abs(a - b) = 0.000003
相对误差：d2 = abs(a - b ) / abs(a); (值非常小)
示例3
double a = 0.000011;
double b = 0.000008;
绝对误差：d1 = abs(a - b) = 0.000003
相对误差：d2 = abs(a - b ) / abs(a)=0.272

根据上面的示例，我们发现，

1. 浮点类型是可以表示部分准确的实数，单独列出来，可以提高判断执行效率。
   所以：
   if (a == b) return true;
2. 如果绝对误差在允许的范围内，那么也是肯定认为是相等的。
   if (abs(a - b) < absTh) return true;
3. 其他情况则判断相对误差。
   if (abs(a - b) < relTh*max(abs(a), abs(b)) return true;
4. other
   return false;

3. 完整代码

bool AlmostEquel(double _left, double _right, double _absTh = FLT_EPSILON, double _relTh = FLT_MIN)

	if (_left == _right)
	
		return true;
	

	double dev = abs(_left - _right); 
	if (dev < _absTh)
	
		return true;
	
	else 
	
		return (dev < _relTh * std::max(_right, _left));
	

4. 参考

1. https://randomascii.wordpress.com/2012/02/25/comparing-floating-point-numbers-2012-edition/
2. https://stackoverflow.com/questions/4915462/how-should-i-do-floating-point-comparison/66750064#66750064