信号与系统2022春季作业-第十一次作业
Posted 卓晴
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§01 基础作业
1.1 z变换性质
1.1.1 求序列z变换
利用 z 变换的性质求以下序列的 z 变换， 结果中标明收敛域。
( 1 ) x 1 [ n ] = ( − 3 ) n n ⋅ u [ n ] ; ( 2 ) x 2 [ n ] = ( n − 4 ) ⋅ u [ n ] ; \\left( 1 \\right)\\,\\,\\,\\,x_1 \\left[ n \\right] = \\left( - 3 \\right)^n n \\cdot u\\left[ n \\right];\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\left( 2 \\right)\\,\\,\\,\\,x_2 \\left[ n \\right] = \\left( n - 4 \\right) \\cdot u\\left[ n \\right]; (1)x1[n]=(−3)nn⋅u[n];(2)x2[n]=(n−4)⋅u[n]; ( 3 ) x 3 [ n ] = n ⋅ a n − 2 ⋅ u [ n ] ; ( 4 ) x 4 [ n ] = 2 n ⋅ ( ∑ k = 0 + ∞ ( − 1 ) k ⋅ u [ n − k ] ) ; \\left( 3 \\right)\\,\\,\\,x_3 \\left[ n \\right] = n \\cdot a^n - 2 \\cdot u\\left[ n \\right];\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\left( 4 \\right)\\,\\,\\,x_4 \\left[ n \\right] = 2^n \\cdot \\left( \\sum\\limits_k = 0^ + \\infty \\left( - 1 \\right)^k \\cdot u\\left[ n - k \\right] \\right); (3)x3[n]=n⋅an−2⋅u[n];(4)x4[n]=2n⋅(k=0∑+∞(−1)k⋅u[n−k]); ( 5 ) x 5 [ n ] = a n n + 1 ⋅ u [ n + 1 ] ; ( 6 ) x 6 [ n ] = ( 1 3 ) n ⋅ cos ( n π 3 ) ⋅ u [ n ] ; \\left( 5 \\right)\\,\\,\\,x_5 \\left[ n \\right] = a^n \\over n + 1 \\cdot u\\left[ n + 1 \\right];\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\left( 6 \\right)\\,\\,\\,x_6 \\left[ n \\right] = \\left( 1 \\over 3 \\right)^n \\cdot \\cos \\left( n\\pi \\over 3 \\right) \\cdot u\\left[ n \\right]; (5)x5[n]=n+1an⋅u[n+1];(6)x6[n]=(31)n⋅cos(3nπ)⋅u[n];
1.1.2 初值和终值
根据下面序列 x [ n ] x\\left[ n \\right] x[n] 的 z 变换，求序列的初值 x [ 0 ] x\\left[ 0 \\right] x[0] 以及终值 x [ ∞ ] x\\left[ \\infty \\right] x[∞] 。
（1）
X
(
z
)
=
1
+
z
−
1
+
z
−
2
(
1
−
z
−
1
)
(
1
−
2
z
−
1
)
X\\left( z \\right) = 1 + z^ - 1 + z^ - 2 \\over \\left( 1 - z^ - 1 \\right)\\left( 1 - 2z^ - 1 \\right)
X(z)=(1−z−1)(1−2z−1)1+z−1+z−2
（2）
X
(
z
)
=
1
(
1
−
0.5
z
−
1
)
(
1
+
0.5
z
−
1
)
X\\left( z \\right) = 1 \\over \\left( 1 - 0.5z^ - 1 \\right)\\left( 1 + 0.5z^ - 1 \\right)
X(z)=(1−0.5z−1)(1+0.5z−1)1
（3）
X
(
z
)
=
z
−
1
1
−
1.5
z
−
1
+
0.5
z
−
2
X\\left( z \\right) = z^ - 1 \\over 1 - 1.5z^ - 1 + 0.5z^ - 2
X(z)=1−1.5z−1+0.5z−2z−1
（4）
X
(
z
)
=
z
4
(
z
−
1
)
(
z
−
0.5
)
(
z
−
0.5
)
X\\left( z \\right) = z^4 \\over \\left( z - 1 \\right)\\left( z - 0.5 \\right)\\left( z - 0.5 \\right)
X(z)=(z−1)(z−0.5)(z−0.5)z4
请大家注意求序列初值和终值的条件。
1.1.3 求序列卷积
利用 z 变换求一下序列 x [ n ] , h [ n ] x\\left[ n \\right],h\\left[ n \\right] x[n],h[n] 的卷积：
（1）
x
[
n
]
=
a
n
−
1
⋅
u
[
n
−
1
]
;
h
[
n
]
=
u
[
n
]
x\\left[ n \\right] = a^n - 1 \\cdot u\\left[ n - 1 \\right];\\,\\,\\,\\,h\\left[ n \\right] = u\\left[ n \\right]
x[n]=an−1⋅u[n−1];h[n]=u[n] 以上是关于信号与系统2022春季作业-第十一次作业的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第三小题 2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第四小题 2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第五小题
（2）
x
[
n
]
=
2
u
[
n
−
1
]
;
h
[
n
]