数学知识整理：函数 & 梯度

Posted 2022-05-11 UQI-LIUWJ

1 函数的基本概念

1.1 函数的定义

        

A	B	f
		一元函数
		n元函数
		n元m维向量函数

1.2 内点，外点和边界点

给定集合，对,如果满足”条件“，那么p是：

条件	p的分类
	D的内点
(c表示补集）	D的外点
	D的边界点

1.2.1 性质

• P是D的内点<——>P是的外点
• P是D的边界点<——>任意以P为圆心的圆盘既有D的内点也有D的外点

1.3 函数的连续性

 1.3.1 闭区间上的多元连续函数的基本性质

• 有界性
• 介值定理
  • 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)≠f(b)，那么一定存在一个，使得或者
• 最值定理
  • 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在闭区间[a,b]上就一定存在最大值和最小值。
• 零点定理
  • 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)f(b)<0，那么至少存在一个，使得

1.4 夹逼定理

 1.4.1 举例

而

所以

 2 偏微商

如果 存在，那么在处连续

如果 存在，那么在处连续

4 连续、可导、可微之间的关系

5 梯度

全微分：

过处的切平面P:

 

5.1 方向微商

给定直线l，过点，方向为，函数f在l方向上的变化率成为方向微商。

记为

如果df存在，那么

5.1.0 梯度的定义

定义向量 

于是

5.1.1 梯度的几何解释 

• 梯度的方向是该点处改变最大的方向
• 梯度的模长是该方向的微商的绝对值
• 给定二元可微函数f，以及一个点M，如果grad(f)不是零向量，那么grad(f)和过M点的等高线的切线垂直

 

5.1.2 举例

求函数在点上沿与此点等高线垂直的方向导数

解：

方向向量

所以

 5.2梯度的运算规则

u,v是函数，c是常数

• grad(u±v)=grad(u)±grad(v)
• grad(uv)=ugrad(v)+vgrad(u)
• grad(cu)=cgrad(u)
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