电阻立方体网络
Posted 卓晴
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了电阻立方体网络相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
时不常会看到这样的电阻网络问题， 虽然没有实际应用，但令人琢磨起来还是蛮有意思的。 下面是12个10k欧姆的电阻焊接成电阻立方体网络。 问题是求A-H 之间的电阻。
▲ 图1 电阻立方体网络
当所有的电阻都相同的时候， 如果在A,H 两端施加电压， 那么D,E,C,F 这四个点都应该是A,H之间的中间电位， 所以连接在C,D 以及E,F 之间的电阻可以是省略。 电路则可以简化成下面右边的形式。
▲ 图2 电阻网络等效电路
不难分析， 最终A-H 之间的电阻应该是单个电阻的四分之三。 如果单个电阻为10kΩ，那么A-H 之间的电阻为应该是7.5kΩ。
实际上，这个电阻网络总共有八个顶点， 任意两者之间都存在阻抗。 如果询问那两点的阻抗最大， 估计大多数人都会承认，应该是立方体的对角线，比如A-G ， 之间的电阻最大。 那么A-G 之间的电阻有多大呢？
Don Cross 在他的博客 Cubical Resistor Network 对于这个问题进行了讨论。他假设在立方体对角线施加1V 激励电压， 通过分析格点之间的对称性和等效电阻， 最终他得到立方体对角线的电阻等于单个电阻的六分之五。
▲ 图3 电阻网络立方体等效电路
有趣的是，他还使用了实际电阻进行了测试， 并且测量出网络中所有节点之间的电阻。
▲ 图4 实际电阻网络
经过测量， 可以看到整个网络各节点之间的电阻总共分为三类：
- 对角线： 电阻大约为 5/6 R;
- 同面对角线：电阻大约为 3/4 R;
- 相邻： 电阻大约 3/5 R；
▲ 图5 电阻网络各点之间的实测电阻
估计上述电阻网络等效电阻计算还是可以心算出来的， 在 Infinite 2D square grid of 1 Ω 1\\Omega 1Ω resistors 中给出了一个询问无穷范围中的二维电阻网络中，两个对角线之间的电阻问题。
▲ 图6 无穷范围中的二维电阻网络
求解的方法中居然还是用到傅里叶变换 的公式， 这一点的确让我破防了。 上述无穷二维电阻网络中，对角线节点之间的电阻居然是 2 / π Ω 2/\\pi \\,\\,\\Omega 2/πΩ ！
▲ 图7 奇异的电路图
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以上是关于电阻立方体网络的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章