[ZJOI2010]贪吃的老鼠

Posted 2022-04-14 StaroForgin

贪吃的老鼠

题解

首先看到我们是要求的是最小的可以让我们吃完的$T$，显然这是单调可以二分的。
那我们要考虑如何判断我们在延长$mid$的情况下是否能够得到一个合法解。
这东西呢，我们可以考虑用网络流求解。
但注意，原问题有要求一只老鼠每个时刻只能吃一块蛋糕，一块蛋糕也只能被一只老鼠吃，这个问题不太好解决。
关于第一个限制，我们可以按时间段拆点，每个时间段给一只老鼠连固定流量的边，保证每只老鼠最多使用这么多流量，一次保证它最多只会吃一块蛋糕。
但第二个条件咋搞？限制蛋糕单位时间总流量？每只老鼠吃的速度不同呀。
事实上我们可以利用差分解决这个问题。
我们先将所有老鼠吃的速度从小到大排序，然后差分，第$i$个差分段能够对应到第$i$只到第$n$只老鼠，所以流入的总流量就是$n-i+1$乘上差分段的长度，它向蛋糕单位时间则只会流差分段长度的流量。
我们很容易将这个图映射回每只老鼠的吃法，也一定满足上面的条件，每块蛋糕被吃的总量不会超过最大值，每只老鼠也不会超过它能从的总量。
但是是否是在我们这个单位时间内吃的就很难说了。
不过可以证明一定是可以映射到一组合法解上的。
就按这样跑一遍网络流，判断是否满流即可。

时间复杂度$O\left([网络流]\log T\right)$

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 2005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL; 
typedef long double Ld;
typedef pair<LL,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=19930726;
const int mod=1e6+7;
const int inv2=499122177;
const int inv3=332748118;
const int jzm=2333;
const int zero=2000;
const int n1=100;
const int orG=3,ivG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double feps=1e-11;
const double eps=1e-9;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
template<typename _T>
void read(_T &x)
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
	while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
	x*=f;

template<typename _T>
void print(_T x)if(x<0)putchar('-'),print(-x);if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');
int gcd(int a,int b)return !b?a:gcd(b,a%b);
int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*t*a%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;return t;
int TT,n,m,s[35],totb,cnt,S,T,head[MAXN],tot,dis[MAXN],cur[MAXN];
double b[65];queue<int>q;
struct mingint p;double r,d;a[35];
struct edgeint to,nxt;double flow;int op;e[MAXN*20];
void addEdge(int u,int v,double f)e[++tot]=(edge)v,head[u],f,0;head[u]=tot;
void addedge(int u,int v,double f)
	addEdge(u,v,f);e[tot].op=tot+1;
	addEdge(v,u,0);e[tot].op=tot-1; 

bool bfs()
	for(int i=1;i<=cnt;i++)cur[i]=head[i],dis[i]=0;
	while(!q.empty())q.pop();dis[S]=1;q.push(S);
	while(!q.empty())
		int u=q.front();q.pop();
		for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
			int v=e[i].to;if(e[i].flow<eps||dis[v])continue;
			dis[v]=dis[u]+1;q.push(v);
			if(v==T)return 1;
		
	
	return 0;

double dfs(int u,double maxf)
	if(u==T)return maxf;double res=0;
	for(int i=cur[u];i;cur[u]=i=e[i].nxt)
		int v=e[i].to;if(e[i].flow<eps||dis[v]!=dis[u]+1)continue;
		double tmp=dfs(v,min(maxf,e[i].flow));
		maxf-=tmp;res+=tmp;e[i].flow-=tmp;e[e[i].op].flow+=tmp;
		if(maxf<eps)break;
	
	return res;

double dinic()double res=0;while(bfs())res+=dfs(S,1e9);return res;
bool check(double mid)
	totb=0;for(int i=1;i<=n;i++)b[++totb]=a[i].r,b[++totb]=a[i].d+mid;
	sort(b+1,b+totb+1);totb=unique(b+1,b+totb+1)-b-1;
	cnt=totb*m+n;S=++cnt;T=++cnt;double summ=0;
	for(int i=1;i<=cnt;i++)head[i]=0;tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)addedge(i,T,1.0*a[i].p),summ+=a[i].p;
	for(int i=1;i<=totb;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			addedge(S,n+(i-1)*m+j,1.0*(m-j+1)*(s[j]-s[j-1])*(b[i]-b[i-1]));
			for(int k=1;k<=n;k++)if(a[k].r<=b[i-1]+eps&&a[k].d+mid+eps>=b[i])
				addedge(n+(i-1)*m+j,k,1.0*(s[j]-s[j-1])*(b[i]-b[i-1]));
		
	double tmp=dinic();
	return tmp+eps>=summ; 

int main()
	read(TT);
	while(TT--)
		read(n);read(m);
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d %lf %lf",&a[i].p,&a[i].r,&a[i].d);
		for(int i=1;i<=m;i++)read(s[i]);sort(s+1,s+m+1);
		double l=0,r=3000000;int times=50;
		while(times--)
			double mid=(l+r)/2.0;
			if(check(mid))r=mid;else l=mid;
		
		printf("%.4f\\n",l);
	
	return 0;

谢谢！！