信号与系统春季学期第七次作业

Posted 2022-04-09 卓晴

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  关于提交作业的基本要求，请参见： 通过提交两份作业综述对提交作业的基本要求 。

 

§01 基础作业

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1.1 信号频谱分析

1.1.1 求信号的频谱

  求下面信号的频谱。 该信号是周期为 $2\tau$ ，幅度为±1的方波信号，被宽度为 ${\tau }_1$ ，高度为1的对称三角脉冲信号调制而成。

▲ 图1.1.1 调制在周期方波上的三角波信号

1.1.2 信号参数分析

  下图所示的信号 $f\left(t\right)$ ，它的傅里叶变换为：

▲ 图1.1.2 信号的波形

  利用傅里叶变换的性质（不直接求信号 $f\left(t\right)$ 的傅里叶变换）求：
  （1） $\varphi \left(\omega \right)$
  （2） $F\left(0\right)$
  （3） ${\int }_{-\infty }^{\infty }F\left(\omega \right)d\omega$
  （4） 绘制下面表达式 $g\left(t\right)$ 的波形：

  其中： $\mathrm{Re}\left[\cdot \right]$ 表示函数的实部。

1.2 证明题

1.2.1 信号的解析信号频谱

  如果信号 $f\left(t\right)$ 的傅里叶变换为 $F\left(\omega \right)$ 。令 $Z\left(\omega \right)=2F\left(\omega \right)u\left(\omega \right)$ 。

  其中： $u\left(\omega \right)$ 是关于 $\omega$ 的单位阶跃函数，即：

  试证明：
  其中：

提示：注意 $\bar{f}\left(t\right)$ 是 $f\left(t\right)$ 的希尔伯特变换。 根据课堂中对于希尔伯特变换对于信号频谱向影响， 上面的证明就比较清楚了。

1.3 思考题

  下面两套题目是选做题目。

1.3.1 信号与周期信号频谱分析

  Consider the signal $x\left(t\right)$ in the following figure:

▲ 图1.3.1 三角脉冲信号x(t)

  （a） Find the Fourier transform $X\left(\omega \right)$ of $x\left(t\right)$ 。
  （b） Sketch the signal:

  （c） Find another signal $g\left(t\right)$ such that $g\left(t\right)$ is not the same as $x\left(t\right)$ and

  （d） Argue that, although $G\left(\omega \right)$ is different from $X\left(\omega \right)$ ， $$G\left(\frac{\pi k}{2}\right)=X\left(\frac{\pi k}{2}\right),k\in Z$$ for all intergers $k$ . You should not explicitly evaluate $G\left(\omega \right)$ to answer this question.

（a）对于对称三角脉冲信号的傅里叶变换， 请回忆课堂上提到的“三个2”；
（b）这是对 $x\left(t\right)$ 进行周期为4 的周期化操作，对应的频谱是“离散化”；
（c）这一问就不再进行提示了。g(t)的结果不是唯一的；
（d）对照 $X\left(\omega \right),G\left(\omega \right)$ 离散化的表达式，他们相等， 就会得到对应的结论了。

1.3.2 两维傅里叶变换

  Define two-dimensional Fourier transform of $x\left(t_1,t_2\right)$ as：

  （a） Show that this double integral can be performed as to successive one-dimensional Fourier transforms, first in $t_1$ with $t_2$ regarded as fixed and the in $t_2$ .
  （b）Use the result of part (a) to determine the inverse transform that is, an expression for $x\left(t_1,t_2\right)$ in terms of $X\left({\omega }_1,{\omega }_2\right)$ .

1.4 调制与解调

1.4.1 分析调制信号频谱

  已知两个正弦调幅信号为表达式为：

$$x_1\left(t\right)=\cos {\Omega }_{m}t\cdot \cos {\omega }_c$$