循环制比赛要赢几场可能（一定）晋级

Posted 2022-03-31 陆嵩

循环制比赛要赢几场可能（一定）晋级

最近，世界杯正在如火如荼地进行。它的晋级规则胜平负分别积3、1、0分。每个小组积分的前两名球队出线进入淘汰赛阶段的1/8决赛，共16支队，即“16强”。积分相同的接下来看总净胜球数，还相同看总进球数，再相同只能抽签。16强后是对分PK剩下一半，一直选出冠军和亚军，前四强中的第三名和第四名要额外比一场，选出季军。

今天，我一直在想一个问题。在小组中，要赢了几场才能保证出线？有赢几场才有可能出线？显然，4 进 2 的情况比较简单。下面考虑一般情况。

假如有 n 支队伍，两两进行 pk，共比 $\frac{n\ast (n-1)}{2}$ 场，没有平局，最后选出 m 个赢的场数最多的队伍（这里先不说积分的事），如果选最后一支晋级队伍时，多个并列，那么就抽签决定。

通过简单的数学计算，有以下结果：

• 要想有可能晋级，要赢的场数至少为：
  $$\lceil \frac{n-m}{2}\rceil$$
• 一定晋级，赢的场数最小为：
  $$\lceil \frac{2n-m-1}{2}\rceil$$ or $$\lfloor \frac{2n-m}{2}\rfloor$$
• 可能淘汰，只要输：
  $$\lceil \frac{m}{2}\rceil$$
• 一定淘汰，只要输：
  $$\lceil \frac{m+n-1}{2}\rceil$$ or
  $$\lfloor \frac{m+n}{2}\rfloor$$

1、事实上，只考虑取整符号里面的内容的话，可能晋级需要赢的场数+一定淘汰输的场数=n，一定晋级需要赢的场数+可能淘汰输的场数=n。所以其实只要考虑前两种即可。

2、可能晋级的情况，如果$\frac{n-m}{2}$是个整数，那么有可能在选取最后一名晋级时，待选的n-m+1支队伍赢的场数都是$\\fracn-m2 $，这时候就要额外抽签决定晋级队伍。

3、可以把 $\lceil \frac{2n-m-1}{2}\rceil$ 记为 $\lceil \frac{n-m}{2}+\frac{n-1}{2}\rceil$，表示要想保证晋级，感性上我们知道首先要有足够可能晋级的场数，另外至少要打败一半的队伍，方便记忆。更方便，只要记可能晋级赢的场数和可能淘汰输的场数即可。

4、世界杯主要考虑平局的情况，所以采用了积分制，给了平局一个权重。如果没有，只考虑胜负，那么积分制其实是没有意义的。不可能说我赢得场数比你多，输的比你少，结果最后积分没你高吧。

5、在比赛不考虑的平局的情况下，我们赢p局就有可能出线，赢q局一定出线，那么在考虑平局的时候，赢p局是不是仍然有可能出线，赢q局仍然一定出线呢？只是实际数据可能比这小点？这就意味着世界杯小组赛赢一局就有可能出线，赢3局必然出线（看起来像废话），为什么赢2局不一定出线呢？因为有可能有三个队伍都赢两局，并列第一，这时候就要看其他的因素了。

算例

比如说10进3的循环赛，只要赢4场就有出线的可能，只要赢8场，那么就一定出线。（赢4场有晋级可能，输2场有淘汰可能）。

计算思路

这里的计算比较简单，不妨考虑第一种情况：至少要赢 $a$ 场能保证出线。该问题等价于求至多赢了 $a-1$ 场还不能出线，也就是要求第 $M+1$ 名的最大胜场数加 1。假设前 $M+1$ 名为集合 A，剩下的 $N-M-1$ 名为集合 B。前 $M+1$ 名的胜场数之和最多为 $s=(M+1)\ast (N-M-1)+\frac{(M+1)M}{2}$ 场（第一个部分为集合 A 全赢集合 B，第二部分为集合 A 的内部胜场数总和），那么第 $M+1$ 名的胜场数肯定不会超过 $a-1=\frac{s}{M+1}=\lfloor \frac{2N-M-2}{2}\rfloor$。那么，第 $M+1$ 名能达到这个胜场数吗？能！最简单地说，集合 A 全赢集合 B，且内部胜场均分即可。A 内部胜场均分是很容易构造的，排好序后以相同的间隔赢取下一个人即可，因为不同的玩家以这种方式达到了某种对称性。此时，$a=\lfloor \frac{2N-M-2}{2}\rfloor +1=\lfloor \frac{2N-M}{2}\rfloor$。赢 $a$ 场必然出线，那么赢 $a-1$ 场还是有可能不能出线。

那么赢几场有可能出线呢？只要考虑输几场一定出不了线即可，只要在此基础上少输一场就有可能出线。那么，和上面的计算一样了。只不过 A 集合变成了输最多的 $N-M+1$ 名，B 集合为前 $M-1$ 名。将上面的结果中的 $M$ 变成 $N-M$，可以得到只要输 $\lfloor \frac{N+M}{2}\rfloor$ 场肯定出局，即只赢 $\lceil \frac{N-M-2}{2}\rceil$ 一定要被淘汰的，只要多赢一局，即 $\lceil \frac{N-M}{2}\rceil$ 就有可能出线了。

计算中，符号进入上下取整符号的时候，上取整要变为下取整，反之亦然。