ACM入门之分块

Posted 2022-03-29 辉小歌

分块是一种思想，而不是一种数据结构。
分块的基本思想是，通过对原数据的适当划分，并在划分后的每一个块上预处理部分信息，从而较一般的暴力算法取得更优的时间复杂度。
分块的时间复杂度主要取决于分块的块长，一般可以通过均值不等式求出某个问题下的最优块长，以及相应的时间复杂度。
分块是一种很灵活的思想，相较于树状数组和线段树，分块的优点是通用性更好，可以维护很多树状数组和线段树无法维护的信息。
当然，分块的缺点是渐进意义的复杂度，相较于线段树和树状数组不够好。
不过在大多数问题上，分块仍然是解决这些问题的一个不错选择。

一般取块的长度为 len=sqrt(n), 此时单次操作的时间复杂度最优，时间复杂度为:O( $\sqrt{n}$ )

分块算法大致分为如下几步:

• 求分块后，一个块的大小。
• 对每个数都标记其对应所属的块。
• 在执行操作的时候，对于不完整的块暴力处理，完整的块进行处理的标记。

分块标记每个编号所属的块的模板:

len = sqrt(n);
for (int i = 1; i <= n; i++) id[i]=(i-1)/len+1;

区间修改，单点查询模板:

const int N = 1e5 + 10;
typedef long long int LL;
LL a[N], ad[N], id[N], n, m, len;
//ad[i] 编号为i的块加的总数 id[i] i所对应的块
void add(int l, int r, int v) //[l,r]内加v

    for (int i = l; i <= min(r * 1ll, id[l]*len); i++) a[i] += v; //开头的不完整的
    if (id[l] == id[r]) return;//在一个块里
    for (int i = id[l] + 1; i <= id[r] - 1; i++) ad[i] += v;//中间完整的块
    for (int i = (id[r] - 1) * len + 1; i <= r; i++) a[i] += v;//结束不完整的

LL query(int x) //查询x的位置的值

    return a[x] + ad[id[x]];