5-7 CART树的剪枝

Posted 2022-03-12 windmissing

CART树的剪枝算法

输入：剪枝前的CART树
输出：剪枝后的CART树

原理

令：
损失函数为：
$$C_a(T)=C(T)+a|T|\text{\hspace{1em}(1)}$$

对树上的所有结点计算：
假如该结点不split，该结点的损失为：
$$C_a(t)=C(t)+a|T|\text{\hspace{1em}(2)}$$
假如该结点split，则该结点的损失为：
$$C_a(T_t)=C(T_t)+a|T_t|\text{\hspace{1em}(3)}$$
当a=0或a足够小时，有
$$C_a(T_t)<C_a(t)\text{\hspace{1em}(4)}$$
即split得到的损失更小。这是肯定的，因为CART树的生成算法就是这样的定义的。因为split得到的损失更小，才会split生成子结点。
但当a慢慢增大，对一个特定的结点t来说，当a取到某个值时，会有
$$C_a(T_t)=C_a(t)\text{\hspace{1em}(5)}$$
将公式（2）、（3）代码公式（5），得出:
$$a=\frac{C(t)-C(T_t)}{|T_t|-1}$$
若对于某个结点来说，此时的a使得KaTeX parse error: \\tag works only in display equations，那么就应该剪枝了。

步骤

1. 令当前树为$T_0$，表示未做过剪枝的CART树
2. **自下而上【？】**地对所有结点计算g(t)，并同时记录最小的g(t)作为当前的alpha
   $$g(t)=\frac{C(t)-C(T_t)}{|T_t|-1}$$
3. 对Tree中$g(t)=a$的结点做剪枝，得到的新的树$T_a$
4. 如果当前的树不只一个根结点，就循环2-3步
5. 通过交叉验证选出最优的$T_a$

代码

def isLeaf(Node):
    # return type(Node).__name__ != 'dict'
    return not ('left' in Node.keys() or 'right' in Node.keys())
    
def calcAlphaList(Node):
    if isLeaf(Node):
        return
    costNotSplit = Node['gini']
    costSplit = Node['left']['gini'] + Node['right']['gini']
    alpha = (costNotSplit-costSplit)/(Node['Tt']-1)
    Node['alpha'] = alpha
    if alpha < calcAlphaList.bestAlpha:
        calcAlphaList.bestAlpha = alpha
    calcAlphaList(Node['left'])
    calcAlphaList(Node['right'])
    
def calcTt(Node):
    if isLeaf(Node):
        return 1
    Node['Tt'] = calcTt(Node['left']) + calcTt(Node['right'])
    return Node['Tt']

def cut(Node, alpha):
    if Node['alpha'] == alpha:
        Node.pop('left')
        Node.pop('right')
    else:
        cut(Node['left'], alpha)
        cut(Node['right'], alpha)
        
def prune(Tree):
    i = 0
    print ('i=',i,Tree)
    while not isLeaf(Tree):
        calcTt(Tree)
        calcAlphaList.bestAlpha = np.inf
        calcAlphaList(Tree)
        i += 1
        print ('i=',i,'alpha',calcAlphaList.bestAlpha)
        cut(Tree, calcAlphaList.bestAlpha)
        print (Tree)

这个算法没想通

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