数字信号处理相关函数应用 ( 相关函数应用场景 | 噪声中检测信号原理 )
Posted 韩曙亮
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一、相关函数应用场景
求下面信号的 " 自相关函数 " :
x ( n ) = sin ( 2 π f n ) + N ( n ) x(n) = \\sin(2\\pi fn) + N(n) x(n)=sin(2πfn)+N(n)
其中 N ( n ) N(n) N(n) 为 高斯白噪声 ;
高斯白噪声 符合 正态分布 特性 , 其 均值为 0 0 0 , 方差为 1 1 1 , 其功率谱密度是白的 , 在所有的频率上 , 其功率都相同 ;
令
s ( n ) = sin ( 2 π f n ) s(n) = \\sin(2\\pi fn) s(n)=sin(2πfn)
则有
x ( n ) = s ( n ) + N ( n ) x(n) = s(n) + N(n) x(n)=s(n)+N(n)
自相关函数 公式为 :
r x ( m ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ∗ ( n ) x ( n + m ) r_x(m) = \\sum_n=-\\infty^+\\infty x^*(n) x(n + m) rx(m)=n=−∞∑+∞x∗(n)x(n+m)
代入 x ( n ) = s ( n ) + N ( n ) x(n) = s(n) + N(n) x(n)=s(n)+N(n) , 求该信号的自相关函数 , 由于都是 实型号 , 不存在共轭 , 式子变为 :
r x ( m ) = ∑ n = − ∞ + ∞ [ s ( n ) + N ( n ) ] [ s ( n + m ) + N ( n + m ) ] r_x(m) = \\sum_n=-\\infty^+\\infty [s(n) + N(n)] [s(n + m) + N(n + m)] rx(m)=n=−∞∑+∞[s(n)+N(n)][s(n+m)+N(n+m)]
展开式子 :
r x ( m ) = ∑ n = − ∞ + ∞ [ s ( n ) s ( n + m ) + N ( n ) s ( n + m ) + s ( n ) N ( n + m ) + N ( n ) N ( n + m ) ] r_x(m) = \\sum_n=-\\infty^+\\infty [s(n) s(n + m) + N(n) s(n + m) +s(n)N(n + m) +N(n)N(n + m) ] rx(m)=n=−∞∑+∞[s(n)s(n+m)+N(n)s(n+m)+s(n)N(n+m)+N(n)N(n+m)]
进一步将加和符号展开 :
r x ( m ) = ∑ n = − ∞ + ∞ s ( n ) s ( n + m ) + ∑ n = − ∞ + ∞ N ( n ) s ( n + m ) + ∑ n = − ∞ + ∞ s ( n ) N ( n + m ) + ∑ n = − ∞ + ∞ N ( n ) N ( n + m ) r_x(m) = \\sum_n=-\\infty^+\\infty s(n) s(n + m) + \\sum_n=-\\infty^+\\inftyN(n) s(n + m) + \\sum_n=-\\infty^+\\inftys(n)N(n + m) + \\sum_n=-\\infty^+\\inftyN(n)N(n + m) rx(m)=n=−∞∑+∞s(n)s(n+m)+n=−∞∑+∞N(n)s(n+m)+n=−∞∑+∞s(n)N(n+m)+n=−∞∑+∞N(n)N(n+m)
其中 :
∑ n = − ∞ + ∞ s ( n ) s ( n + m ) = r s ( m ) \\sum_n=-\\infty^+\\infty s(n) s(n + m) = r_s(m) n=−∞∑+∞s(n)s(n+m)=rs(m)
∑ n = − ∞ + ∞ N ( n ) s ( n + m ) = r N s ( m ) \\sum_n=-\\infty^+\\infty N(n) s(n + m) = r_Ns(m) n=−∞∑+∞N(n)s(n+m)=rNs(m)
∑ n = − ∞ + ∞ s ( n ) N ( n + m ) = r s N ( m ) \\sum_n=-\\infty^+\\infty s(n)N(n + m) = r_sN(m) n=−∞∑+∞s(n)N(n+m)=rsN(m)
∑ n = − ∞ + ∞ N ( n ) N ( n + m ) = r N ( m ) \\sum_n=-\\infty^+\\infty N(n)N(n + m) = r_N(m) n=−∞∑+∞N(n)N(n+m)=rN(m)
最终得到结果 :
r x ( m ) = r s ( m ) + r N s ( m ) + r s N ( m ) + r N ( m ) r_x(m) = r_s(m) + r_Ns(m) + r_sN(m) + r_N(m) rx(m)=rs(m)+rNs(m)+rsN(m)+rN(m)
r N s ( m ) ≈ 0 r_Ns(m) \\approx 0 rNs(m)≈0 , r s N ( m ) ≈ 0 r_sN(m) \\approx 0 数字信号处理相关函数应用 ( 相关函数应用场景 | 噪声中信号检测 | 隐含周期性检测 | 时差估计 | 描述随机信号 )
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