时间复杂度与大O记法的理解

Posted 2022-02-25 ITxiaoke

Num01–>看下面案例两种算法比较

问题：如果 a+b+c=1000，且 a^2+b^2=c^2（a,b,c 为自然数），
如何求出所有a、b、c可能的组合?

#第一种计算解法：
import time

start_time = time.time()
for a in range(1001):
    for b in range(1001):
        for c in range(1001):
            if 1000 == a + b + c and a ** 2 + b ** 2 == c ** 2:
                print("a,b,c", (a, b, c))
end_time = time.time()
cast_time = end_time - start_time
print("花费时间：%d" % cast_time)
# 结果是：
# a,b,c (0, 500, 500)
# a,b,c (200, 375, 425)
# a,b,c (375, 200, 425)
# a,b,c (500, 0, 500)
# 花费时间：178秒
# 本案例共计计算步数为：1000*1000*1000*2
# 采用问题规模N来标记：  N  *  N *  N *2 = 2 * N^3
# 采用时间复杂度T(N)标记：T(N)=2 * N^3
# 最终用大O记法为：O(N^3)

 #第二种计算解法
 import time

 start_time = time.time()
 for a in range(1001):
     for b in range(1001):
         c = 1000 - a - b
         if a ** 2 + b ** 2 == c ** 2:
             print("a,b,c", (a, b, c))
 end_time = time.time()
 cast_time = end_time - start_time
 print("花费时间：%d" % cast_time)
# 结果是：
# a,b,c (0, 500, 500)
# a,b,c (200, 375, 425)
# a,b,c (375, 200, 425)
# a,b,c (500, 0, 500)
# 花费时间：秒
# 本案例共计计算步数为：1000*1000*3
# 采用问题规模N来标记：  N  *  N * 3 = 3 * N^2
# 采用时间复杂度T(N)标记：T(N)=3 * N^2
# 最终用大O记法为：O(N^2)

Num02–>定义

    我们假定计算机执行算法每一个基本操作的时间是固定的一个时间单位，那么有多少个基本操作就代表会花费多少时间单位。显然对于不同的机器环境而言，确切的单位时间是不同的，但是对于算法进行多少个基本操作（即花费多少时间单位）在规模数量级上却是相同的，由此可以忽略机器环境的影响而客观的反应算法的时间效率。

对于算法的时间效率，我们可以用“大O记法”来表示。

“大O记法”：对于单调的整数函数f，如果存在一个整数函数g和实常数c>0，使得对于充分大的n总有f(n)<=c*g(n)，就说函数g是f的一个渐近函数（忽略常数），记为f(n)=O(g(n))。也就是说，在趋向无穷的极限意义下，函数f的增长速度受到函数g的约束，亦即函数f与函数g的特征相似。

时间复杂度：假设存在函数g，使得算法A处理规模为n的问题示例，所用时间为T(n)=O(g(n))，则称O(g(n))为算法A的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，记为T(n)

Num03–>如何理解大O记法

    对于算法进行特别具体的细致分析虽然很好，但在实践中的实际价值有限。对于算法的时间性质和空间性质，最重要的是其数量级和趋势，这些是分析算法效率的主要部分。而计量算法基本操作数量的规模函数中那些常量因子可以忽略不计。例如，可以认为3n^2和100n^2属于同一个量级，如果两个算法处理同样规模实例的代价分别为这两个函数，就认为它们的效率“差不多”，都为n^2级。

Num04–>最坏时间复杂度

分析算法时，存在几种可能的考虑：

算法完成工作最少需要多少基本操作，即最优时间复杂度
算法完成工作最多需要多少基本操作，即最坏时间复杂度
算法完成工作平均需要多少基本操作，即平均时间复杂度

对于最优时间复杂度，其价值不大，因为它没有提供什么有用信息，其反映的只是最乐观最理想的情况，没有参考价值。

对于最坏时间复杂度，提供了一种保证，表明算法在此种程度的基本操作中一定能完成工作。

对于平均时间复杂度，是对算法的一个全面评价，因此它完整全面的反映了这个算法的性质。但另一方面，这种衡量并没有保证，不是每个计算都能在这个基本操作内完成。而且，对于平均情况的计算，也会因为应用算法的实例分布可能并不均匀而难以计算。

因此，我们主要关注算法的最坏情况，亦即最坏时间复杂度。

Num05–>时间复杂度的几条基本计算规则

1、基本操作，即只有常数项，认为其时间复杂度为O(1)

2、顺序结构，时间复杂度按加法进行计算

3、循环结构，时间复杂度按乘法进行计算

4、分支结构，时间复杂度取最大值

5、判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略

6、在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

Num06–>空间复杂度

类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。

渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度。

空间复杂度(SpaceComplexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度。
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Num07–>常见时间复杂度

Num08–>常见时间复杂度之间的关系

Num09–>Python内置类型性能分析

timeit模块

timeit模块可以用来测试一小段Python代码的执行速度。

class timeit.Timer(stmt='pass', setup='pass', timer=<timer function>)

Timer是测量小段代码执行速度的类。

stmt参数是要测试的代码语句（statment）；

setup参数是运行代码时需要的设置；

timer参数是一个定时器函数，与平台有关。

timeit.Timer.timeit(number=1000000)

Timer类中测试语句执行速度的对象方法。number参数是测试代码时的测试次数，默认为1000000次。方法返回执行代码的平均耗时，一个float类型的秒数。

使用案例说明timeit模块的作用

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Author  : xiaoke

# python内置类型性能分析模块
import timeit


# 以下采用五种list列表生成的函数，分析列表效率
# 采用相加的方法，[]+[]
def t1():
    list_test = []
    for i in range(1001):
        list_test = list_test + [i]


# 采用尾部添加
def t2():
    list_test = []
    for i in range(1001):
        list_test.append(i)


# 采用插入指定的位置
def t3():
    list_test = []
    for i in range(1001):
        list_test.insert(0, i)


# 采用列表生成式
def t4():
    list_test = [x for x in range(1001)]


# 采用list（）函数
def t5():
    list_test = list(range(1001))


# 构造
timeit1 = timeit.Timer("t1()", "from __main__ import t1")
timeit2 = timeit.Timer("t2()", "from __main__ import t2")
timeit3 = timeit.Timer("t3()", "from __main__ import t3")
timeit4 = timeit.Timer("t4()", "from __main__ import t4")
timeit5 = timeit.Timer("t5()", "from __main__ import t5")

# 测试
print("[]+[]: %f" % timeit1.timeit(number=1000))
print("append: %f" % timeit2.timeit(number=1000))
print("insert_start: %f" % timeit3.timeit(number=1000))
print("列表生成式: %f" % timeit4.timeit(number=1000))
print("list(): %f" % timeit5.timeit(number=1000))

# 结果为：
# []+[]: 1.662782
# append: 0.118913
# insert_start: 0.430096
# 列表生成式: 0.039850
# list(): 0.028044

Num10–>Python中list内置操作的时间复杂度

Num11–>Python中dict内置操作的时间复杂度