机器学习笔记： 时间序列 分解 STL

Posted 2022-02-22 UQI-LIUWJ

1 前言

STL(’Seasonal and Trend decomposition using Loess‘ ) 是以LOSS 作为平滑方式的时间序列分解

        LOSS可以参考机器学习笔记：局部加权回归 LOESS_UQI-LIUWJ的博客-CSDN博客

2 STL分解大致流程和思路

2.1 主体流程

时间序列分解-STL分解法 - 钮甲跳 - 博客园 (cnblogs.com) 中展示了一张STL方法内循环的流程图，我觉得说得蛮好的，附上方便理解

        STL分为内循环（inner loop）与外循环（outer loop），其中内循环主要做了趋势拟合与周期分量的计算；外层循环主要用于调节robustness weight。这些在之后会详细提到。

 2.2 记号说明 

为了方便后文阐述，这里给定几个需要用到的符号：

Yv	v时刻的时间序列数据（v∈[1,n]）
Tv	v时刻的 趋势分量
	内循环第k-1次结束时的趋势分量（初始的为0）
Sv	v时刻的 周期分量
	内循环第k-1次结束时的周期性分量
Rv	v时刻的 余项
	内层循环数
	外层循环数
	时间序列的周期 （一个周期内有几个样本）
	内循环第二步中的LOESS平滑参数 （截取多长的步骤来进行加权滑动平均）
	内循环第三步中的LOESS平滑参数（周期）
	内循环第六步中的LOESS平滑参数（趋势）

- 

2.3 内循环

2.3.1 第一步 去趋势

减去上一轮结果的趋势分量

 2.3.2 周期子序列平滑

将一个周期内不同时刻的数据汇聚到一块，形成一个子序列（每个周期相同位置的样本点）

比如 1,1+T,1+2T,....这些形成一个子序列；2,2+T,2+2T,....这些形成一个子序列。。。

那么这里我们时间序列周期为，所以一共有个时间序列

         我们用平滑参数为的LOSSES，对每个子序列进行局部加权回归，同时每个子序列向前向后各延展一个数值。

        然后把这各回归后的时间序列按照时间顺序排列，我们记为（这是一个从1-

到N+ 的时间序列）

2.3.3 周期子序列的低通量过滤

        这里的低通过滤，个人理解是只考虑就近的一些时刻数据的影响

        对上一个步骤（2.3.2）的结果序列依次做长度为，，3的滑动平均。

        

        然后做平滑参数为的LOESS，得到一个从1到N的序列

        相当于把中的周期特征给过滤掉了。或者说是的趋势分量

2.3.4 求得周期分量

2.3.5 去周期分量

2.3.6 趋势平滑 

 对于去除周期之后的序列做平滑参数为的LOESS回归，得到趋势分量

 

2.4 外循环

主要用于调节robustness weight。如果数据序列中有outlier，则余项会较大 

于是我们定义：

对于位置为v的数据点，其robustness weight为

其中B函数为

然后每一次迭代的内循环中，在Step 2与Step 6中做LOESS回归时，邻域权重（neighborhood weight）需要乘以ρv，以减少outlier对回归的影响

 2.5  流程总结

outer loop:
	计算robustness weight;

	inner loop:
		Step 1 去趋势;
		Step 2 周期子序列平滑; （一次LOSSES）
		Step 3 周期子序列的低通量过滤; （三次滑动平均，一次LOSSES）
		Step 4 去除平滑周期子序列趋势; （计算周期分量）
		Step 5 去周期;                   
		Step 6 趋势平滑;    （计算趋势分量）

        为了使得算法具有足够的鲁棒性，所以设计了内循环与外循环。

        特别地，当内循环次数n(i)足够大时，内循环结束时趋势分量与周期分量已收敛；若时序数据中没有明显的outlier，可以将外循环次数n(o)设为0。

       

        论文中给出的一种收敛条件为：

        设和是连续的趋势项或者季节项的迭代，那么如果U满足，则可认为已经收敛

 3 STL的优缺点

 与经典的 SEATS 和 X11 分解方法相比，STL 有几个优点：

• 与 SEATS 和 X11 不同，STL 将处理任何类型的季节性数据，而不仅仅是月度和季度数据。
• 季节性成分允许随时间变化，变化的速度可以由用户控制。
• 趋势周期的平滑度也可以由用户控制。
• 它对异常值具有鲁棒性（即，用户可以指定鲁棒分解），因此偶尔的异常观察不会影响趋势周期和季节性分量的估计。（ 但是，它们可能会影响其余部分。 ）

另一方面，STL 也有一些缺点：

• 它不会自动处理交易日或日历变化
• 它只提供时间序列加法分解。

 4 R语言实现

library(forecast)

y<-ts(c(5,3,3.1,3.2,3.3,3.4,3.5,3.3,3.2,4,4.1,4.2,
         6,4,4.1,4.2,4.3,4.4,4.5,4.6,4.7,4.8,4.9,5,
         10,9,8,8.5,8.4,8.5,8.6,8.7,8.8,8.9,9,9.5),
       start = 2020,
       frequency = 12)

stl(y,t.window=13,s.window='periodic',robust=TRUE)

# Call:
# stl(x = y, s.window = "periodic", t.window = 13, robust = TRUE)

#Components
            seasonal    trend     remainder
#Jan 2020  1.71219724 3.281861  5.941485e-03
#Feb 2020 -0.36509768 3.360281  4.816495e-03
#Mar 2020 -0.34451579 3.438701  5.814699e-03
#Apr 2020 -0.31611143 3.518979 -2.867522e-03
#May 2020 -0.28997941 3.599257 -9.277401e-03
#.....
#Dec 2022  0.37439646 9.123976  1.627939e-03


library(ggplot2)
autoplot(stl(y,t.window=13,s.window='periodic',robust=TRUE))

         使用 R语言的STL 时要选择的两个主要参数是趋势周期窗口 (t.window) 和季节性窗口 (s.window)。 这些控制趋势周期和季节性成分的变化速度。

         较小的值允许更快速的变化。

        t.window 和 s.window 都应该是奇数；

         t.window 是估计趋势周期时要使用的连续观测数； s.window 是用于估计季节性分量中每个值的连续年数。（LOSSES的平滑参数）

         用户必须指定 s.window，因为没有默认值。 将其设置为无限等效于强制季节性分量是periodic的（即，每年都是相同的）。

        指定 t.window 是可选的，如果省略，将使用默认值。

4.1 获得某个分量

应该说所有R语言中的时间序列分解都可以这么做

dec=stl(y,t.window=13,s.window='periodic',robust=TRUE)

trendcycle(dec)
#趋势分量

seasonal(dec)
#周期分量

remainder(dec)
#其他分量

seasadj(dec)
#去掉周期分量之后的部分

参考文献

时间序列分解-STL分解法 - 钮甲跳 - 博客园 (cnblogs.code

时间序列分解算法：STL - Treant - 博客园 (cnblogs.com)

STL——以鲁棒局部加权回归作为平滑方法的时间序列分解方法_snowdroptulip的博客-CSDN博客_stl分解