数位DP数位小孩

Posted 2022-02-19 行码棋

题目链接：

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/23480/D

求$[l,r]$区间内满足以下条件数的个数：
1.任意相邻的两个数位之和为素数
2.数位中至少有一个1
3.没有前导0

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本题由于l,r范围只有$10^{10}$，可以dfs暴力做，但是为了复习数位DP，下面用数位DP做。

数位DP经典先预处理f数组

• 状态表示：
  $f[i][j][1]$: 满足相临数位之和为素数情况下，共有i位数，最高位为j，且数位中存在1的数的个数
  $f[i][j][0]$: 满足相临数位之和为素数情况下，共有i位数，最高位为j，且数位中不存在1的数的个数

• 状态转移：
  j=1时
  $f[i][j][1]+=f[i-1][k][0]+f[i-1][k][1]$
  $f[i][j][0]=0$
  j!=1时
  $f[i][j][1]+=f[i-1][k][1]$
  $f[i][j][0]+=f[i-1][k][0]$

注意初始化f数组时，$f[1][0][0]$要初始化为1，虽然不满足为素数，但是需要初始化为1，因为后面比如说转移到20（2位数，最高位为2，不存在1，满足相邻数位之和为素数情况）时需要用到。

然后就是转移时，需要额外标记高位是否出现过1，本题用ok标记，如果出现过，要额外进行res += f[i+1][j][0]的操作

最后要加上位数小于给定的数的情况（位数小，整体的数肯定小了）

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int f[20][20][2];

bool check(int a,int b)

	if(b < 0) return true;
	if(a+b==2||a+b==3||a+b==5||a+b==7||a+b==11||a+b==13||a+b==17) return true;
	return false;

void init()

	f[1][0][0] = 1;
	f[1][1][1] = 1;
	for(int i=2;i<=9;i++) f[1][i][0] = 1;
	for(int i=2;i<=10;i++)
		for(int j=0;j<=9;j++)
			for(int k=0;k<=9;k++)
			
				if(check(j,k))
				
					if(j==1)
					
						f[i][j][1] += f[i-1][k][0] + f[i-1][k][1];
						f[i][j][0] = 0;
						
					
					else  
					
						f[i][j][1] += f[i-1][k][1];
						f[i][j][0] += f[i-1][k][0];
					
				
			

ll dp(ll x)

	if(!x) return 0;
	
	vector<int>nums;
	while(x) nums.push_back(x%10),x/=10;
	
	int last = -1;
	ll res = 0;
	bool ok = false;
	
	for(int i=nums.size()-1;i>=0;i--)
	
		int c = nums[i];
		for(int j=(i==nums.size()-1);j<c;j++)
		
			if(check(j,last))
			
				res += f[i+1][j][1];
				if(ok) res += f[i+1][j][0];
			
		
		
		if(c==1) ok = true;
		
		if(check(c,last)) last = c;
		else break;
		
		if(!i and ok)  res ++;
	
	
	for(int i=1;i<nums.size();i++)
		for(int j=1;j<=9;j++)
			res += f[i][j][1];
	return res;

void solve()

	init();
	
	ll l,r;
	cin>>l>>r;
	cout<<dp(r)-dp(l-1)<<"\\n";

int main()

//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0),cout.tie(0);
	int t;
//	cin>>t;
	t = 1;
	while(t--) solve();
	return 0;