数据结构与算法之深入解析“搜索旋转排序数组”的求解思路与算法示例

Posted 2022-02-12 Serendipity·y

一、题目要求

• 整数数组 nums 按升序排列，数组中的值互不相同 。
• 在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了旋转，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], …, nums[n-1], nums[0], nums[1], …, nums[k-1]]（下标从 0 开始计数）。例如， [0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处经旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。
• 给你旋转后的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回它的下标，否则返回 -1。
• 示例 1：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出：4

• 示例 2：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出：-1

• 示例 3：

输入：nums = [1], target = 0
输出：-1

• 提示：
• • 1 <= nums.length <= 5000；
• • -10⁴ <= nums[i] <= 10⁴；
• • nums 中的每个值都独一无二；
• • 题目数据保证 nums 在预先未知的某个下标上进行了旋转；
• • -10⁴<= target <= 10⁴。

二、求解算法

① 将“旋转数组查找目标值”转化成“有序数组查找目标值”

• 对于旋转数组 nums = [4,5,6,7,0,1,2]，首先根据 nums[0] 与 target 的关系判断 target 是在左段还是右段：
• • 例如 target = 5，目标值在左半段，因此在 [4, 5, 6, 7, inf, inf, inf] 这个有序数组里找就行；
• • 例如 target = 1，目标值在右半段，因此在 [-inf, -inf, -inf, -inf, 0, 1, 2] 这个有序数组里找就行。
• Java 示例：

class Solution 
    public int search(int[] nums, int target) 
        int lo = 0, hi = nums.length - 1;
        while (lo <= hi) 
            int mid = lo + (hi - lo) / 2;
            if (nums[mid] == target) 
                return mid;
            
            
            // 先根据 nums[0] 与 target 的关系判断目标值是在左半段还是右半段
            if (target >= nums[0]) 
                // 目标值在左半段时，若 mid 在右半段，则将 mid 索引的值改成 inf
                if (nums[mid] < nums[0]) 
                    nums[mid] = Integer.MAX_VALUE;
                
             else 
                // 目标值在右半段时，若 mid 在左半段，则将 mid 索引的值改成 -inf
                if (nums[mid] >= nums[0]) 
                    nums[mid] = Integer.MIN_VALUE;
                
            

            if (nums[mid] < target) 
                lo = mid + 1;
             else 
                hi = mid - 1;
            
        
        return -1;
    

② 二分查找（LeetCode 官方解法）

• 对于有序数组，可以使用二分查找的方法查找元素。但是这道题中，数组本身不是有序的，进行旋转后只保证了数组的局部是有序的，这还能进行二分查找吗？答案是可以的。
• 可以发现的是，将数组从中间分开成左右两部分的时候，一定有一部分的数组是有序的。拿示例来看，我们从 6 这个位置分开以后数组变成了 [4, 5, 6] 和 [7, 0, 1, 2] 两个部分，其中左边 [4, 5, 6] 这个部分的数组是有序的，其他也是如此。
• 这启示我们可以在常规二分查找的时候查看当前 mid 为分割位置分割出来的两个部分 [l, mid] 和 [mid + 1, r] 哪个部分是有序的，并根据有序的那个部分确定我们该如何改变二分查找的上下界，因为我们能够根据有序的那部分判断出 target 在不在这个部分：
• • 如果 [l, mid - 1] 是有序数组，且 target 的大小满足 [nums[l],nums[mid])，则我们应该将搜索范围缩小至 [l, mid - 1]，否则在 [mid + 1, r] 中寻找。
• • 如果 [mid, r] 是有序数组，且 target 的大小满足 (nums[mid+1],nums[r]]，则我们应该将搜索范围缩小至 [mid + 1, r]，否则在 [l, mid - 1] 中寻找。

• C++ 示例：

class Solution 
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) 
        int n = (int)nums.size();
        if (!n) 
            return -1;
        
        if (n == 1) 
            return nums[0] == target ? 0 : -1;
        
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l <= r) 
            int mid = (l + r) / 2;
            if (nums[mid] == target) return mid;
            if (nums[0] <= nums[mid]) 
                if (nums[0] <= target && target < nums[mid]) 
                    r = mid - 1;
                 else 
                    l = mid + 1;
                
             else 
                if (nums[mid] < target && target <= nums[n - 1]) 
                    l = mid + 1;
                 else 
                    r = mid - 1;
                
            
        
        return -1;
    
;

• Java 示例：

class Solution 
    public int search(int[] nums, int target) 
        int n = nums.length;
        if (n == 0) 
            return -1;
        
        if (n == 1) 
            return nums[0] == target ? 0 : -1;
        
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l <= r) 
            int mid = (l + r) / 2;
            if (nums[mid] == target) 
                return mid;
            
            if (nums[0] <= nums[mid]) 
                if (nums[0] <= target && target < nums[mid]) 
                    r = mid - 1;
                 else 
                    l = mid + 1;
                
             else 
                if (nums[mid] < target && target <= nums[n - 1]) 
                    l = mid + 1;
                 else 
                    r = mid - 1;
                
            
        
        return -1;