条件期望求解快速排序算法复杂度

Posted 2022-02-10 鬼道2022

1 条件期望

定义1（条件期望）：给定随机变量$X$和$Y$，则有如下条件期望$$\mathrm{E}[X]=\mathrm{E}\left[\mathrm{E}[X|Y]\right]$$如果$Y$是离散随机变量，则有$$\mathrm{E}[X]=\sum _y\mathrm{E}[X|Y=y]\mathrm{P}Y=y$$如果$Y$是密度为$f_Y(y)$的连续随机变量，则有$$\mathrm{E}[X]={\int }_{-\infty }^{\infty }\mathrm{E}[X|Y=y]f_Y(y)dy$$

证明： 离散随机变量的证明方式与连续随机变量证明方式一致，具体的证明过程如下所示$$\begin{array}{rl}\sum _y\mathrm{E}[X|Y=y]\mathrm{P}(Y=y)& =\sum _y\sum _{x}x\mathrm{P}X=x|Y=y\mathrm{P}Y=y\\ & =\sum _y\sum _{x}x\frac{\mathrm{P}X=x,Y=y}{\mathrm{P}Y=y}\mathrm{P}(Y=y)\\ & =\sum _y\sum _{x}x\mathrm{P}X=x,Y=y\\ & =\sum _{x}x\sum _y\mathrm{P}X=x,Y=y\\ & =\sum _{x}x\mathrm{P}X=x=\mathrm{E}[X]\end{array}$$证毕。

2 快速排序算法分析

 假设有$n$个不同的值$x_1,\cdots ,x_n$的一个集合，将它们按照递增次序排序，完成它的一个有效的算法是快速排序算法。当$n=2$时，该算法比较此二值，将它们置于合适的次序。当$n>2$时，它开始在$n$值中随机地选取一个，譬如$x_i$，然后将其它的$n-1$个值与$x_i$比较，以$S_i$记小于$x_i$的元素的集合，$\overline{S_i}$记大于$x_i$的元素即集合，然后分别对集合$S_i$和$\overline{S_i}$分别排序，所以，最后的次序由集合$S_i$元素的次序、$x_i$、集合$\overline{S_i}$元素的次序排列组成。
 假定元素集合是$10$，$5$，$8$，$2$，$1$，$4$，$7$，随机选取一个（即这$7$个值中的每一个选取的概率都是$\frac{1}{7}$）。假如值$4$被选取，然后将其它$6$个值得每一个与$4$做比较得到$$2,1,4,10,5,8,7$$将集合$2,1$排序得到 1 , 2 , 4 , 10 , 5 , 8 , 7