浙江工业大学之江学院程序设计期末全题解（dp组合数学

Posted 2022-02-01 hans774882968

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比四川大学c语言期末难多了，所以四川大学 <<<<<< 之江学院

很多是牛客跨年场的原题，难度也不大。这套题除了G，我都是在火车上用手机写的，所以用的python。

A

因为跨年时间已经过了，所以是签到。后来才知道是牛客跨年场的题，具体应该去看看乱搞做法。

B

既然q数列对应配平且最简的化学方程式，那么n是偶数且i = n/2。于是答案就显而易见了。

ra = lambda: list(map(int,input().split()))
T = int(input())
for cas in range(T):
    n = int(input())
    q,a = ra(),ra()
    print(min([a[i] // q[i] for i in range(n)]))

C

n<11，考虑dfs。但是写了个暴力发现答案位数可以很大，需要找些特征。

1. 乘积具有与排列无关的性质，所以答案一定是高位到低位不断上升的。
2. 0和1都应该排除。

此时再写dfs找答案即可。注意，如果用python的话，跑太慢会超时，必须打表。

# ans = [1e15] * 12
# ans[0],ans[1] = 0,10
# def g(n):
    # mul = 1 if n else 0
    # x = n
    # while x:
        # mul *= x%10
        # x //= 10
    # return 0 if n == mul else g(mul)+1
# def dfs(u,num):
    # global ans
    # if u >= 1e15: return
    # v = g(u)
    # ans[v] = min(ans[v],u)
    # for i in range(num,10):
        # dfs(u*10+i,i)
# for i in range(2,10):
    # dfs(i,i)
# print(["%s" % v for v in ans])

ans = ["0","10","25","39","77","679","6788","68889","2677889","26888999","3778888999","277777788888899"]
while True:
    try:
        n = int(input())
    except EOFError: break
    print(ans[n])

拓展：为什么特征1剪枝力度这么强？我们发现这个计数问题可以用dp解。定义dp[i][j]表示i位数，最高位填写j+2（j从0到7）的方案数。这个dp是n*8*8的，为了优化为n*8，我们稍微改一下dp定义：i位数，最高位填写小于等于j+2（j从0到7）的方案数之和。

def explore():
    dp = [[1] * 8]
    for i in range(1,8): dp[0][i] += dp[0][i-1]
    for i in range(14):
        d = [0] * 8
        for j in range(8):
            d[j] = d[j-1] + dp[-1][7] - (dp[-1][j-1] if j else 0)
        dp.append(d)
        print([d[i] - (d[i-1] if i else 0) for i in range(8)])
    return dp[-1][0]
print(explore())#116280

想不到15位数满足特征1就可以缩小到这个地步！

D

B函数就是ans加上j，因此整个代码等价于遍历每个区间，每个区间贡献为右端点值，求贡献和。

显然右端点为i（1~n）的区间有i个。答案秒得。

mod = int(1e9+7)
while True:
    try:
        n = int(input())
    except EOFError:
        break
    if n <= 0: print(0)
    else:
        n %= mod
        print(n*(n+1)*(2*n+1)//6%mod)

E

i（0-indexed）号小朋友得到的糖果编号(j*n+i)%12，j跑遍0~11。如果i1和i2模12同余，则所得糖果没区别。所以只需要处理12个小朋友，剩下就是小模拟。

mod = int(1e9+7)
s = "happynewyear"
while True:
    try:
        n = int(input())
    except EOFError:
        break
    tot = []
    sz = min(12,n)
    for i in range(sz):
        mp = [0 for i in range(26)]
        for j in range(12):
            mp[ord(s[(j*n+i)%12])-97] += 1
        tot.append(sum([v // 2 for v in mp]))
    mx = max(tot)
    idx = []
    for i in range(sz):
        if tot[i] == mx:
            idx.append(i)
    ans = 0
    for i in idx:
        ans += (n+11-i)//12
    print(ans)

F

考虑枚举mex值为i的集合个数即可。1+sum(i*2^(n-1-i))，i = 0~n-1。错位相减法得答案为2^n-1。

mod = int(1e9+7)
def qp(a,b):
    ret = 1
    while b:
        if b&1: ret = ret * a % mod
        a = a * a % mod
        b >>= 1
    return ret
T = int(input())
for _ in range(T):
    n = int(input())
    print((qp(2,n)+mod-1)%mod)

G

一开始以为要用分块打表，后来打表发现i >= 3803时i! % mod = 0，完事。
原因：123456789=3×3×3607×3803。

mod = 123456789

def explore():
    B = 10000
    m = 1
    for i in range(2,mod):
        m = m * i % mod
        if i == 3802: print(m)
        if i % B == 0:
            print(m)

mul = [1]
for i in range(1,3803): mul.append(mul[-1] * i % mod)
fac = lambda x: 0 if x >= 3803 else mul[x]
T = int(input())
for _ in range(T):
    a,b = list(map(lambda x: fac(int(x)),input().split()))
    if a > b: print("a")
    elif a < b: print("b")
    else: print("tie")