趣题分享如何数学推导三国杀王荣吉占摸牌的期望值？（Web Premiere）

Posted 2022-01-28 囚生CY

序言

这是一个很有趣的问题，所以在这个琐事缠身的期末时段笔者也要花时间跟大家分享一下这个问题的解法。

事情是这样子的，这几天跑完步刷$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}$时看到学校里有个兄弟每天跑完会发一条概率论题的动态，虽然笔者也已经很久不从事数学证明的工作，但是遥想当年高中也是一个执着于计算各种概率和期望的数学痴，还想大学能继续从事和数学相关的理论工作，只可惜天赋不足加上时运不济，如今已经沦落为打工人。所以莫名其妙地还是被一道题吸引到了。

我记得高三那时候课间为了消磨时间，禹含老是跟我玩石头剪刀布，本来这个游戏是纯看运气的，但是不知为何就是我输的比较多，所以总是被无情嘲讽。后来禹含为了有更好的嘲讽体验，决定在规则上让我一些，于是我们约定不算平局，他连赢三次算赢，我连赢两次算赢，如果一直没有人达到数量足够的连胜次数，游戏就一直进行下去。

于是这个问题就很有意思了，显然公平的石头剪刀布双方获胜的概率都是$1/2$，那么在这种需要达到指定连胜次数才能获胜的设定下，双方获胜的概率又是怎么样呢？

后来笔者通过很精妙的解法，得出了一般情况下的结论：

• 定理$1$（连胜模式下石头剪刀布的获胜概率）：若$A,B$两人进行石头剪刀布游戏，约定$A$连胜$m$局获胜，$B$连胜$n$局获胜，且平局不会使得连胜中断，那么$A,B$获胜的概率分别为：
  $$\mathrm{Pr}(A\text{ win})=\frac{2^n-1}{2^m+2^n-2}\mathrm{Pr}(B\text{ win})=\frac{2^m-1}{2^m+2^n-2}\text{\hspace{1em}(1)}$$

后来笔者把这个提给禹含，他并没有给出解答。然而现在禹含已经是清华大学的高材生，笔者还在野鸡大学里摸鱼，高下立判，显然刷题是没有任何毫无卵用的，自己给自己出题更是闲得蛋疼。

本文中笔者不会对 定理$1$ 做出证明，因为这里还只是序言部分，笔者真正想要说的是更有趣的问题，但是可以提示一下，笔者当时先证明的是$m=2,n=3$的情况（事实上这种情况的证明也并不平凡），然后可以利用递推归纳将结论推广到一般的$m,n$的取值。

言归正传，现在让我们来看看这位兄弟出的是什么样的题吧😊

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1 问题缘起

• 问题$2$（随机采样直到变大）：在$[0,1]$区间上的均匀分布总体进行依次采样，若某次采样得到的随机数比前一次采样得到的随机数大，则终止采样，那么期望上一共需要采样多少次？

这个问题乍一看有点棘手，其实并不困难，有兴趣的朋友可以停下来思考一下下😀

好了笔者公布解法。这个问题应该有很多解法，这里笔者只介绍一种比较直观的方法，因为这个问题也不是本文的重点（重点当然是王荣吉占啦）。

我们考虑一个大小为$n$的采样自$\text{Uniform}(0,1)$上的随机样本，即$X_1,X_2,...,X_n\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}.}{\sim }\text{Uniform}(0,1)$，这里我们不妨假定它们是从小到大排列且不存在相同的数值，即有：
$$X_1<X_2<...<X_n\text{\hspace{1em}(2)}$$
那么这$n$个数的全排列数为$n!$，而能够使得前$n-1$个数都是从大到小，第$n$个数比第$n-1$个数大的排列总数是$n-1$个，它们分别是：
X n , X n − 1 , X n − 2 , . . . , X 5 , X 4 , X 3 , X 1 , X 2 X n , X n − 1 , X n − 2 , . . . , X 5 , X 4 , X 2 , X 1 , X 3 X n , X n − 1 , X n − 2 , . . . , X 5 , X 3 , X 2 , X 1 , X 4 . . . X n , X n − 2 , X n − 3 , . . . , X 4 , X 3 , X 2 , X 1 , X n − 1 X n − 1 , X n − 2 , X n − 3 , . . . , X 4 , X 3 , X 2 , X 1 , X n (3) \\X_n,X_n-1,X_n-2,...,X_5,X_4,X_3,X_1,X_2\\\\\\ \\X_n,X_n-1,X_n-2,...,X_5,X_4,X_2,X_1,X_3\\\\\\ \\X_n,X_n-1,X_n-2,...,X_5,X_3,X_2,X_1,X_4\\\\\\ ...\\\\ \\X_n,X_n-2,X_n-3,...,X_4,X_3,X_2,X_1,X_n-1\\\\\\ \\X_n-1,X_n-2,X_n-3,...,X_4,X_3,X_2,X_1,X_n\\\\tag3 Xn​,Xn−1​,Xn−2​,...,X5​,X4​,X3​,X1​,X2​Xn​,Xn−1​,Xn−2​,...,X5​,X4​,X2​,X1​,X3​Xn​,Xn−1​,Xn−2​,...,X5​,X3​,X2​,X1​,X4​...Xn​,Xn−2​,Xn−3​,...,X4​,X3​,X趣题分享如何数学推导三国杀王荣吉占摸牌的期望值？（Web Premiere）

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