python实现Hill加密最详细的Hill加密讲解，文中附代码

Posted 2022-01-26 榴莲味的电池

前言

最近在准备网络安全期末考试，复习到Hill加密时，想起来之前做的编程作业，写的比较粗糙，而且也没有搞懂怎么求Hill密码系统的解密密钥，今天琢磨出来了，就把Hill密码系统实现并整理了，文中附有代码，供大家参考学习。

一、Hill加密基础预备知识

1、希尔密码（Hill cipher）是一种基于线性代数的多表代替密码。

简单来描述一下Hill密码系统的原理，对于一个输入明文plaintext = 'Hello world!'，先把plaintext转换成一个数值矩阵P，这个数值需要自己建立索引，比如H这个字符我用1来表示…然后给出一个加密密钥矩阵K，通过加密公式，可以求出一个加密后的数值矩阵C，通过解密公式，可以求出一个解密后的数值矩阵P，最后把P映射回字符的形式，用自己建立的索引把数值矩阵映射成字符串明文。

由于Hill密码系统的解密密钥是由加密密钥经过某种变换得到的，所以Hill密码是一种对称密码。

2、希尔密码加解密的公式：

加密公式：
$$C=KPmodm\text{\hspace{1em}(1)}$$
解密公式：
$$P=K^{-1}Cmodm\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中C表示明文，P表示密文，矩阵$K$表示加密密钥，矩阵$K^{-1}$表示解密秘钥，m表示Hill密码系统是在模m下实现的。Hill密码的难点在于求解解密秘钥。

3、希尔密码解密秘钥$K^{-1}$的公式：

Hill密码的解密秘钥$K^{-1}$不是简单的对$K$求逆，而是在模m下，对$K$求逆。此时，求逆公式也发生了变化。
$$K^{-1}=det(K{)}^{-1}\ast K^{\ast }\text{\hspace{1em}(1)}$$其中$K^{\ast }$是$K$的伴随矩阵，$det(K{)}^{-1}$是$K$的行列式值在模m下的乘法逆元。对于伴随矩阵$K^{\ast }$的求解，比较容易，我们用如下公式不难求出。$$K^{\ast }=det(K)\ast K^{-1}\text{\hspace{1em}(2)}$$

4、求一个数在模m下的乘法逆元：

在模m下，$x$的乘法逆元$y$需要满足的条件为：
$$(x\times y)modm=1\text{\hspace{1em}(3)}$$

注：并不是任何数在模m下都有乘法逆元。

# 在模26下求一个数x的乘法逆元y，只需要满足(x×y) mod 26 = 1
x = -939
# y的取值范围为[0,26)
y = 0
while(y < 26):
    res = (x * y) % 26
    if res == 1:
        print(x,"的乘法逆元为：",y)
        break
    else:
        y = y + 1
        if y == 26:
            print(x,"在模26下，不存在乘法逆元!")

5、求Hill密码解密秘钥$K^{-1}$：

import numpy as np
#这个y是det(K)在模26下的乘法逆元，前面已经求出来是17，这里直接用
y = 17
#K矩阵
K = np.array([[17,17,5],[21,18,21],[2,2,19]], dtype=int)
# 对K矩阵求逆，得到K的逆矩阵K1
K1 = np.linalg.inv(K)
# 求K矩阵的行列式值det(K)
K_abs = np.linalg.det(K)
print("K的行列式的值为：",K_abs)
# 求K矩阵的伴随矩阵
K2 = K1 * K_abs  % 26
# 由于伴随矩阵得到的可能是浮点数矩阵，故需要对其进行四舍五入取整
# 并将每个元素成员强制转换为int类型
K2 = np.around(K2)
K2 = K2.astype(np.int)
print("K的伴随矩阵为:\\n",K2)
# 求Hill加密的解密秘钥
K3 = y * K2 % 26
print("Hill密码的解密秘钥为:\\n",K3)

运行结果：

K的行列式的值为 -939.0
K的伴随矩阵为:
 [[14 25  7]
 [ 7  1  8]
 [ 6 26  1]]
Hill密码的解密秘钥为:
 [[ 4  9 15]
 [15 17  6]
 [24  0 17]]

二、Hill加解密完整代码

这里代码没有为字母分配索引，直接用字母的ascii码值作索引，为了保证每个字母取模后的唯一性，整个过程选的模m的值为256，也就是说下面Hill加解密代码是在模256下完成的，读者也可以根据自己的实际情况，在不同的模值下进行测试，也可考虑为字母分配索引。

import numpy as np

# 求在模m下任意一个数的乘法逆元
def Multi_Inverse(x,m):
    # 输入：求一个数x在模m下的乘法逆元
    # y的取值范围为[0,m)
    y = 0
    while(y < m):
        res = (x * y) % m
        if res == 1:
            print("在模%d下,加密密钥行列式值为%d，它的乘法逆元为%d" % (m,x,y))
            break
        else:
            y = y + 1
            if y == m:
                print(x,"在模",m,"下，不存在乘法逆元!")
                return 0
    return y

# 求伴随矩阵
def Adjoint_Mat(K,K_det,m):
    # 输入：矩阵K，矩阵的行列式值K_det，模m
    # 对K矩阵求逆，得到K的逆矩阵K1
    K1 = np.linalg.inv(K)
    # 求K矩阵的伴随矩阵
    K2 = K1 * K_det % m
    # 由于伴随矩阵得到的可能是浮点数矩阵，故需要对其进行四舍五入取整
    # 并将每个元素成员强制转换为int类型
    K2 = np.around(K2)
    K2 = K2.astype(np.int)
    return K2

# 求解密密钥k
def Decrypt_Key(K,m):
    # 求K矩阵的行列式值det(K)，模m
    K_det = np.linalg.det(K)
    K2 = Adjoint_Mat(K, K_det, m)
    # 求det(K)在模26下的乘法逆元
    y = Multi_Inverse(K_det, m)
    # 求Hill加密的解密秘钥
    K3 = y * K2 % m
    return K3

# 将矩阵(二维数组)ascii码转字符
def ascii2_char(array1):
    plaintext = ''
    row = array1.shape[0]
    col = array1.shape[1]
    for i in range(row):
        for j in range(col):
            plaintext = plaintext + chr(array1[i][j])
    return plaintext

# 将明文转换为ascii码值矩阵，行数与加密密钥保持一致
def char2ascii2(plaintext,row,m):
    # 输入：明文plaintext，加密矩阵的行数row,模m
    l1 = [0,0,0]
    l2 = []
    for i in range(len(plaintext)):
        j = i % row
        if (i > 0 and i % row == 0):
            l2.append(l1)
            l1 = [0, 0, 0]
        l1[j] = ord(plaintext[i])
    l2.append(l1)
    m1 = np.array(l2)
    m1 = np.reshape(m1,(m1.shape[1],m1.shape[0]))
    m1 = m1 % m
    return m1

if __name__ == "__main__":
    # K矩阵,即加密密钥
    K = np.array([[17,17,5],[21,18,21],[2,2,19]], dtype=int)
    # 解密密钥k，模m
    m = 256
    k = Decrypt_Key(K,m)
    print("Hill密码的解密秘钥为:\\n",k)

    # 明文
    plaintext = 'Programming is a happy thing'
    print("原始明文内容:\\n",plaintext)

    # 加密密钥矩阵K的行数row
    row = K.shape[0]
    # 将明文转换为ascii码值矩阵，行数与加密密钥保持一致
    # m1为明文ascii码值矩阵
    m1 = char2ascii2(plaintext,row,m)

    # 加密过程，m2为加密后的矩阵
    m2 = np.dot(K,m1) % 256
    Ciphertext = ascii2_char(m2)
    print("密文内容:\\n",Ciphertext)

    # 解密过程，m3为加密后的矩阵
    m3 = np.dot(k,m2) % 256
    decrypt_text = ascii2_char(m3)
    print("解密结果:\\n", decrypt_text)

运行结果：

在模256下,加密密钥行列式值为-939，它的乘法逆元为253
Hill密码的解密秘钥为:
 [[124 171 223]
 [ 47  85 244]
 [238   0 153]]
原始明文内容:
 Programming is a happy thing
密文内容:
"d7´oæ¾PÜODO”¼
解密结果:
 Programming is a happy thing