一阶rc低通滤波器公式是啥？

Posted 2023-05-12

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了一阶rc低通滤波器公式是啥？相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

低通滤波器的计算公式：f=1/2πRC。

从电阻端进入，然后通过一个电容接地，从电容端取信号，知道电容是通高频阻低频，所以电容对高频信号呈现很低的阻抗，信号被接地，所以低频信号通过，称为低通滤波器，高通滤波器和低通滤波器正好相反，电阻和电容位置互换。

简介

一阶低通滤波器的特性一般用一阶线性微分方程表示。一般，线性连续系统的特性除了可以在“时域”中用微分方程或冲击响应表示外，也可以用以频率为自变量的函数表示，它就是＂频率响应＂，是系统特性的“频域”表示方式。

可以证明，系统的“频率响应”就是该系统“冲激响应”的傅里叶变换。一般情况下它是一个以复变量jω为自变量的的复变函数，以H(jω）表示。它的模│H(ω）│和幅角φ（ω）为角频率ω的函数，分别称为系统的“幅频响应”和“相频响应”，它分别代表激励源中不同频率的信号成分通过该系统时所遇到的幅度变化和相位变化。

参考技术A

推荐看一篇文章《低通滤波器和高通滤波器的程序实现原理推导》

以下回答借鉴了文章中的内容

1.一阶低通滤波器

一阶低通滤波器的s域的传递函数为：
Y ( s ) X ( s ) = 1 R C s + 1 = 1 s w 0 + 1 \\fracY(s)X(s)=\\frac1RCs+1=\\frac1\\fracsw_0+1 X(s)Y(s)=RCs+11=w0s+11
其中 w 0 = 1 R C w_0 = \\frac1RC w0=RC1
滤波器的截止频率定义：截止频率时输出功率为传导频率的一半，在波德图相当于为降低3分贝的位置所表示的功率，因为此时功率比例传到频带上的输出功率。
一阶低通滤波器的截至频率为： f L = w 0 2 π = 1 2 π R C f_L=\\fracw_02\\pi=\\frac12\\pi RC fL=2πw0=2πRC1
要编程使用低通滤波期需要将低通滤波器离散化，首先对s域的传递函数进行z变换得到(将 s = 1 − z − 1 T s=\\frac1-z^-1T s=T1−z−1带入到连续传递函数中)：
Y ( z ) X ( z ) = T R C ( 1 − z − 1 ) + T \\fracY(z)X(z)=\\fracTRC(1-z^-1)+T X(z)Y(z)=RC(1−z−1)+TT
其中T为采样时间。进一步转化得到：
Y ( n ) = T T + R C X ( n ) + R C T + R C Y ( n − 1 ) Y(n)=\\fracTT+RCX(n)+\\fracRCT+RCY(n-1) Y(n)=T+RCTX(n)+T+RCRCY(n−1)
其中X(n)为采样值，Y(n1)为上一次得滤波值。
令 a = T T + R C a=\\fracTT+RC a=T+RCT
则 Y ( n ) = a X ( n ) + ( 1 − a ) Y ( n − 1 ) Y(n)=aX(n)+(1-a)Y(n-1) Y(n)=aX(n)+(1−a)Y(n−1)
上式可用到编程数字实现中。
进一步分析a=T/(T+RC)，当采样时间很小时，即T≪RC，有
a = T T + R C ≈ T R C = w 0 T = 2 π R f L a=\\fracTT+RC\\approx \\fracTRC=w_0T=2\\pi Rf_L a=T+RCT≈RCT=w0T=2πRfL
此时截止频率可以表示为
f L = w 0 2 π = a 2 π T f_L=\\fracw_02\\pi=\\fraca2\\pi T fL=2πw0=2πTa

2.一阶高通滤波器

一阶高通滤波器的s域的传递函数为：
Y ( s ) X ( s ) = R C s R C s + 1 = 1 s + w 0 \\fracY(s)X(s)=\\fracRCsRCs+1=\\frac1s+w_0 X(s)Y(s)=RCs+1RCs=s+w01
其中 w 0 = 1 R C w_0 = \\frac1RC w0=RC1
一阶高通滤波器的截至频率为： f L = w 0 2 π = 1 2 π R C f_L=\\fracw_02\\pi=\\frac12\\pi RC fL=2πw0=2πRC1
z变换得到：
Y ( Z ) X ( Z ) = R C ( 1 − z − 1 ) + T R C ( 1 − z − 1 ) \\fracY(Z)X(Z)=\\fracRC(1-z^-1)+TRC(1-z^-1) X(Z)Y(Z)=RC(1−z−1)RC(1−z−1)+T
Y ( n ) = R C R C + T ( X ( n ) − X ( n − 1 ) + Y ( n − 1 ) ) Y(n)=\\fracRCRC+T(X(n)-X(n-1)+Y(n-1)) Y(n)=RC+TRC(X(n)−X(n−1)+Y(n−1))
令
b = R C R C + T = 1 2 π f H T + 1 b=\\fracRCRC+T=\\frac12\\pi f_HT+1 b=RC+TRC=2πfHT+11
则
Y ( n ) = b ( X ( n ) − X ( n − 1 ) + Y ( n − 1 ) ) Y(n)=b(X(n)-X(n-1)+Y(n-1)) Y(n)=b(X(n)−X(n−1)+Y(n−1))