最少交换次数

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了最少交换次数相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

参考技术A

输入:
第一行包含一个整数T,表示测试用例的数量。接下来会有T个测试用例,对于每个测试用例,包含一个整数N表示数组A[]中元素的个数,接下来一行为数组A[],包含N个用空格分开的整数。

数据规模:(1<=T<=100; 1<=N<=100; 1<=A[i]<=1000)

输出
对于每个测试用例,输出一个整数表示将数组排序所需的最小交换次数。

样例输入输出

解题思路
本题解法如下,首先将数组 A 排序得到 A’ ,遍历数组A中元素,假设当前元素为A[i],
①A[i]在正确的位置(即排序后应在的位置)上,跳过,考虑下一元素。

② 若A[i]不在正确的位置上,假设其排序后的正确位置为j,则将A[i]与A[j]交换。此时i位置上的元素为A[j]的值,记为A[i]’。若A[i]\'是在正确的位置上,则停止,否则,重复②步骤。

example:
遍历数组[1 5 4 3 2],
1在正确的位置上,跳过;
5不在正确的位置上,将其与2交换。2交换到了排序后的正确位置,停止;
4不在正确的位置上,将其与3交换。3交换到了排序后的正确位置,停止;
算法结束,共交换两次。

循环节
解题思路的1小节中,②步骤的循环操作涉及一个理论概念:循环节。

关于排序中最少交换次数的证明(置换环)

关于排序中最少交换次数的证明(置换环)

利用置换环可以进行证明。这里我只做感性的证明。

问题

对于长度为 n n n的数组 a a a a i ∈ N a_i\\in N aiN a i a_i ai互不相同,每次操作可以选择任意两个位置 i , j i,j i,j交换 a i , a j a_i,a_j ai,aj,要求排序的最少交换次数。

答案

最少交换次数 c n t s w a p = n − c n t c i r c l e cnt_swap=n-cnt_circle cntswap=ncntcircle

c n t c i r c l e cnt_circle cntcircle 就是数组中置换环的个数。

方法

首先我们对数组进行排序,然后进行映射到 [ 1 , n ] [1,n] [1,n]这个区间。

比如 m ( a j ) = i m(a_j)=i m(aj)=i, 说明 a j a_j aj这个元素最终的位置应该在 i i i。可以理解为 j j j i i i连一条有向边。

同时再开一个数组标记位置是否访问过。我们利用 m m m数组暴力找环的个数即可。

时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)

int getSwapCnt(vector<int>&a)
	int n = a.size(),cnt=0;
	vector<int>b(a);
	sort(b.begin(),b.end());
	unordered_map<int,int>m;
	vector<bool>vis(n);
	for(int i=0;i<n;i++) m[b[i]] = i;
	for(int i=0;i<n;i++)
		if(!vis[i])
			int j = i;
			while(!vis[j])
				vis[j] = true;
				j = m[a[j]];
			
			cnt++;
		
	return cnt;

下面这个写法是反向的一个建边,可以允许 a i a_i ai相同。

int a[N],b[N],n;
bool vis[N];
bool cmp(int &x,int &y)
	return a[x]<a[y];

int getSwapCnt()
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) b[i] = i;
	sort(b+1,b+n+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!vis[i])
			int j = i;
			while(!vis[j])
				vis[j] = true;
				j = b[j];
			
			cnt++;
		
	return cnt;


简要证明

显然如果有 n n n个环的话,说明此时已经排序好了。 c n t = n − n = 0 cnt=n-n=0 cnt=nn=0

那么我们的目标就是要达到 n n n个环。

每次我们可以选择一个环中的两个结点进行交换,这样环的个数会加1,变成两个。如下图所示:

那么既然每次操作环个数加1,我们已经有 m m m个环了,那么要达到 n n n个环,显然最少次数是 n − m n-m nm次操作,加 n − m n-m nm个环。

所以答案就是 n − m n-m nm

以上是关于最少交换次数的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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