一、前言
这几天在研究mysql相关的内容，而MySQL中比较重要的一个内容就是索引。对MySQL索引有了解的应该都知道，B+树是MySQL索引实现的一个主要的数据结构。今天这篇博客就来简单介绍一下B树、B+树以及MySQL索引使用这种数据结构实现的原因。
二、正文
2.1 B树
关于B树的操作细节我这里就不详细介绍了，这里主要介绍一下B树的结构，让大家对B树有一个大致的了解。
这里首先要纠正一个问题，网上大量文章将B树称为B-（减）树，但其实这是一种错误的叫法。会这么叫是因为B树的英文名称为“B-Tree”，错误的翻译导致这种错误的叫法逐渐传开。但实际上这里的“-”是杠，而不是减，由于存在B+树，所以大家都觉得存在一个B-（减）树是很正常的，但实际上，B+树的英文完整写法应该是B+-Tree，“+”是加，但“-”是杠。除此之外，甚至有人认为B树就是二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST），这就错的更加离谱了。
B树是一棵多路平衡查找树，相信很多人都了解过二叉搜索树，而B树和二叉搜索树类似，只是B树的每一个节点可以有超过两个子节点。而B树中，每一个节点具体可以有几个子节点，这与这棵B树的阶有关，而树的阶一般用字母m表示。抛开B树的维护操作不谈，B树可以简单理解为一棵m叉搜索树。
我们定义，一个树中，每个节点允许的子节点的最大数量，就称为这个数的阶，一般用字母m表示。例如：假设一棵5阶的B数，则B数上的每一个节点，最多只能有5个子节点。除此之外需要注意，B树的阶m > 2。
下面我们直接通过一张图来了解B树的结构：
上面这张图就是一棵标准的B树，他的每一个节点中可能存有多个值（每个节点记录了值的个数，也就是上图中的红色数字），以及多个指向子节点的指针，而值的个数 = 指针的个数 - 1 = m - 1。比如说上图中，根节点存有一个值50（图中称为关键字），而根节点的左子节点存有两个值，即10和30。而由于根节点只有一个值，所以他有两个指向子节点的指针，从上图可以看出，这两个指针分别位于值的两边。我们之前说过，B树可以近似的认为是一棵m叉搜索树，所以上图中，根节点的左子树中的所有值都小于根节点的值50，而右边子树中所有节点的值大于根节点的值50。
根节点只有一个值，以及两个子节点，和二叉树类似，所以以它举例不够典型，我们现在以根节点的左子节点再次举例。根节点的左子节点中存有两个值，即10和30，且他有3个指向子节点的指针。在每一个节点中，多个值是排好序的，比如上图中是从小到大排序，于是10在30的左边。对于10左边这个指针指向的子树，包含的值都小于10；而位于10和30之间的指针指向的子树，包含的值一定时10到30之间；而30右边的指针，指向的子树的子节点一定是大于30。
我们现在以一个例子来说明B树查找的过程，假设上图中，我们想要搜索值35，于是需要经历以下步骤：
- 用
35与根节点中的值比较，根节点中只有一个50，35<50，于是向根节点的左子节点搜索； - 根节点的左子节点中的第一个值是
10，35>10，于是判断下一个值，下一个值为30，35>30，继续判断下一个值，但是此节点中没有下一个值了，于是向35右边的这个指针指向的子节点查找，也就是第三个叶子节点； - 到了叶子节点后，发现其中只有一个值，就是
35，于是查找成功；
以上就是在B树中查找一个值的过程。
2.2 为什么需要B树?
在B树的每一个节点中，都不止存储一个值，具体存储的值的个数依赖于B树的阶。而我们在查找一个值的过程中，需要对当前所在的节点包含的所有值进行一个遍历，以此来确定当前查找的值是否在当前节点中。这也就意味着，相比于二叉搜索树，平衡二叉树，红黑树等数据结构，B树查找一个值需要比较更多的次数。假设一棵B树的阶是100，那也就意味着在最坏情况下，我们在每一个访问到的节点中，都需要比较100次，而前面提到的三种数据结构比较的次数不会超过树的深度，也就是只需要少量的比较次数。既然B树相比较于它们需要比较更多的次数才能找到相应的值，那为什么还要B树呢？这取决于实际的应用场景。
说到B树，大部分首先想到的就是数据库的索引，MySQL中使用的索引主要为BTree索引（实际是B+树实现的，这个后面再谈）。从上面的B树结构我们可以看到，B树中使用大量的指针维护节点之间的关系，这也就意味着B树在物理存储上并不是连续的。单个节点中的数据是连续存储，但是多个节点之间一般都是单独存储，然后通过指针相互引用。在实际的存储中，BTree索引一般被存放在磁盘中，然后只有需要使用时，才将使用到的部分节点加载进内存，进行比较判断。
为什么不一次性将BTree索引全部加载进内存？因为在实际生产中，索引往往需要维护百万甚至千万行数据，这就导致索引本身占据大量的内存，再加上我们使用的常常不止一个索引，再加上内存中需要运行其他程序，所以将索引一次性加载进内存是不现实的事情。只有当前需要使用的部分才被加载进内存，而不使用的部分则留在磁盘或者从内存中移除。
而上面这种使用到才进行加载的方式有一个什么问题？我们每次需要查找树中的一个节点，都需要进行一次磁盘IO，将这个节点从磁盘中加载进内存。而对于B树或者说之前提到的平衡二叉树等数据结构，最多需要访问的节点的个数，实际上就是树的深度（想想搜索一个值的过程就能明白）。对于B树来说，他每一个节点可以存储多个值，而平衡二叉树等二叉结构，每一个节点只存储一个值，这也就意味着在值的个数相等的情况下，B树的深度小于二叉树的深度。这也就意味着以B树作为索引，可以进行更少次数的磁盘IO。
对于一棵含有n个元素的树，二叉搜索树的深度在n-log2(n)之间，而平衡二叉树的深度是log2(n)，红黑树与平衡二叉树类似，平均深度也是log2(n)。然而，B树设计了一种高效简单的维护操作，使B树的深度维持在约log(ceil(m/2))(n)~logm(n)之间，大大降低树高（ceil是向上取整函数，例如5/2 = 3）。
这里面临一个什么问题？磁盘的速度，相对于内存来说非常的缓慢，磁盘查找的速度比内存查找慢100000倍左右。也就是说，从磁盘中找到1个数据所花费的时间，可以从内存中查找100000个数据。这也就意味着我们在使用索引查找数据的过程中，时间主要是花费在了磁盘IO上，而不是数据的比较上。所以，我们希望尽可能少地进行磁盘IO。而B树作为索引，由于树的深度较小，相比于那些二叉树，可以进行更少的磁盘IO，这就是B树最大的优势。
二叉树中，一个节点一般只存储一个元素，而在将磁盘的数据加载进内存中时，实际上是按页进行加载的，页是每次从磁盘加载进内存的数据的最小单位，一般为4K。这也就意味着我们使用这些二叉树的数据结构时，加载一个节点所在的页进入内存时，这个页中有大量内存都是浪费的。而B树中每一个节点可以存储多个数据，于是我们可以通过修改B树的阶，让他的每一个节点大致占用一个页（4K）的大小，以此最大限度的减少B树的深度，提高内存利用率。
2.3 B树存在的问题
（1）难以存储具体数据
我们上面在介绍B树的过程中，对于B树中存储的元素，都是用“值”这个字来说明，但是在上面那张图中可以看到，图中写的是关键字，这是因为我们在实际使用中，需要存储的是key-value型数据。比如说作为数据库索引，我们需要通过索引值进行查找，索引值就是key，但是我们真正需要的是索引值对应的数据行，也就是value。
有一个比较简单的解决方案，我们可以在B树的节点中直接存储key和value，这样在通过key找到元素是，可以直接取出value。但是，这会导致另外一个问题。我们上面说过，B树的一个节点，其大小一般被限制在一个磁盘页的大小（4K），如果我们在一个节点中既存key，又存value，就会导致一个节点中能够存储的元素数量减少，value越大，能够存储的元素就越少，于是树的深度就会增加，违背了我们使用B树减少磁盘IO的目的，所以这种方法并不可取。当然，其实也可以让value保存数据的地址，但是可能是需要综合考虑下面这个问题，所有没有这样做。
（2）B树不适合用来处理范围查询
在数据库中，进行范围查找的频率非常的高，比如查找员工工资在1000-2000中的全部员工这种类型的查询。但是，B树并不适合用来进行这种范围查找，因为在B树中，每一个节点都用来存储数据，它们之间并不是线性结构，不方便进行范围查询。想要在B树中进行范围查询，可以先找到范围的上界和下界，在通过DFS（或者BFS），遍历包含下界到上界中的所有节点，但这并不方便。
B+树正是针对以上两个问题，而对B树做了一些修改而得来。
2.4 B+树
B+树相对于B树主要做了如下的修改：
- B+树中的每一个非叶子节点并不存储值
value，只存储键key，而具体的value全部存放在叶子节点中，这也就意味着每次查找需要访问的节点数量都是固定的，都需要向下查找到叶子节点； - 每一个叶子节点都有一个指向下一个叶子节点的指针，所有的叶子节点相互串联，组成一个线性的结构；
- 对于一个
m阶的B+树，每一个节点最多只有m个子节点，同时存储m个key（对于m阶的B树，只有m-1个key）； - 每一个子节点中最小（或最大）的
key，也包含在父节点中（这个通过下面的例子理解）；
下面我们通过一张图来看看B+树的结构：
上图中，就是一棵B+树。根节点存储了3个key，key值分别是5，28，65，且是按照从小到达的顺序存储。同时根节点包含3个指针，指向自己的3个子节点。第一个子节点中最小的key是5，就是根节点中最小的key，而这个节点中所有的key，大小都是在根节点的第一个key（5）到第二个key（28）之间（不包含28）；第二个子节点中最小的key是28，也就是根节点中的第二个key，在这个子节点中所有的key，大小都在根节点第二个key（28）到第三个key（65）之间；第三个子节点同理，它包含根节点的第三个key（65），同时其中所有的key都>=65。再往下的子节点也是同理。
而根据上图我们可以看到，在最下层的叶子节点中，存储了全部的key值（尽管有些key已经在上层节点出现过），同时不仅存储了key值，还存储了这些key值对应的value。除此之外，每一个叶子节点都包含一个指针，指向下一个叶子节点。这些叶子节点相互串联，组成了一个key值从小到大排好序的线性结构。
这样处理有什么好处呢？好处就是我们在树中存储了value，但是由于value存储在叶子节点中，所以对于作为索引的非叶子节点来说，并没有增加它们的大小，从而并没有导致树的高度增加。除此之外，由于value都存储在叶子节点中，并且叶子节点相互串联，所以非常方便进行范围查询。比如说上图，我们要查找key为26-60对应的数据，那我们首先查找26所在的叶子节点，发现它在第三个叶子节点，于是我们将第三个叶子节点读入内存，然后发现并不包含全部数据，于是通过指针找到第四个叶子节点，将第四个叶子节点读入内存，还不包含全部，于是将第五个叶子节点也读入，这时就包含全部数据了。
2.5 InnoDB和MyISAM中索引的实现
在MySQL5.1之前，MySQL的默认存储引擎是MyISAM，而在这之后改为了InnoDB。这两个存储引擎中，都使用了B+Tree实现索引，但是实现的方式有所区别。
（1）InnoDB中的聚簇索引
什么是聚簇索引，就是指索引与数据库表中的数据存储在一起。InnoDB使用B+树实现聚簇索引，而数据库表中的数据行，实际上就是存储在B+树的叶子节点中，我们上面说的B+树中的key-value，其中的value指的就是具体的一行数据，我们在叶子节点中找到了key，实际上也就得到了key对应的那一行数据。所以严格来讲，聚簇索引不单单是索引，更是数据的一种存储结构。
InnoDB使用表的主键作为key，建立聚簇索引，如果表没有主键，将选择一个唯一的非空索引替代，若也没有，将隐式的定义一个主键用来建立。
（2）MyISAM的非聚簇索引
在MyISAM中，并不使用聚簇索引，也就是说MyISAM中通过B+树实现的索引，并不包含表中具体的数据行，子节点中的value，存储的是这一行数据的地址，也就是说数据和索引分开存储。
三、总结
在MySQL的实际应用中，BTree索引都是通过B+树建立的，而不是B树。而在InnoDB中，使用的是聚簇索引，在B+树的叶子节点中直接存储表中的数据行；而MyISAM没有使用聚簇索引，B+树的叶子节点中，存放的是数据行的地址。