Dijkstra算法求单源最短路

Posted 2023-04-24

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dijkstra算法用于求解单源最短路问题，只能求解正权图，图中有负边求出来的结果会有问题。

算法的思想就是先确定一个起点（源点），然后寻找这个点到其他所有点的距离最小值，找到一条距离最短的线路。

第一次查询这条路径一定是只有这两个点的，确定了这个点，就标记一下，说明这个已经是最短的了，接下来这个点就不参与比较了。

标记过后就把这个点延伸出去的边处理下，因为还要去选从起点到其他点的最短距离，所以要借助这个点去更新一下其他点的最小距离。因为第一次查询时只存储了与源点直连的点，有的点没有与源点直接连接，现在就可以借助这个确定的点进行间接连接。然后把其他直接连接的距离处理更新下。然后重复进行找距离源点最近的点，然后进行更新标记。

每一次循环会标记一个点，所以循环n次就能把n个点的图处理完毕。

第一行包含整数 n 和 m 。

接下来 m 行每行包含三个整数 x , y , z ，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z 。

求解从点1到点n 的最短路径。

堆优化版要用邻接表（链式前向星）进行存图，如果是稠密图推荐用邻接矩阵存图用朴素做法。

堆优化版在算法竞赛中比较适用，可以大幅提高运行效率。

优化思路:

因为每次循环都要去找下一个距离源点最近的的点，但是朴素做法每次都要把所有点都比较判断下，如果每次当有新的距离更新了，就把这个距离装到堆中，那么就不用再去一个个比较了，直接把堆顶元素取出就行了。

dist数组存储的是从源点到其他n个点的距离，每次找的也是这个距离，一次更新一个点，更新完毕就是起点到n个点之间的最短路。

Bellman-ford 单源最短路径算法

参考技术A

参考： Bellman-Ford 单源最短路径算法
Bellman-ford 算法

Bellman-Ford 算法是一种用于计算带权有向图中单源最短路径（SSSP：Single-Source Shortest Path）的算法
对于带权有向图 G = (V, E)，Dijkstra 算法要求图 G 中边的权值均为非负，而Bellman-ford能适应一般的情况（即 存在负权边 的情况）。

Bellman-ford 采用动态规划的方法，实现的时间复杂度为 O(V*E)，其中 V 为顶点数量，E 为边的数量。
Dijkstra 算法采用贪心算法的方法，普通实现的时间复杂度为 O(V^2)。若使用优先队列则时间复杂度为 O(E + VlogV)。

Bellman-Ford 算法描述：

对u节点到v节点的距离进行的松弛操作，如果到u的距离加上u到v的边小于到v的距离，那么可以缩短距离，更新之。

G：为一个图
w：权重二维数组，反映的是u到v的边的权重。

第一个双重for循环：循环V - 1次，对于每个边，都进行松弛操作
第二个for循环：检查是否有环。因为已经进行了V-1次循环了，理论上不应该可以松弛，但如果还有可以松弛的，说明存在负权环，返回False。

为什么要循环V-1次？
因为最短路径肯定是个简单路径，不可能包含回路，如果包含回路，但回路的权值和为正，也松弛不了，还是可以得到更短的路径。但如果回路的权值是负的，就可以一直松弛，那么肯定没有解。图有n个点，又不能有回路，所以最短路径最多n-1边（可以想象成一条线）。又因为每次循环至少松弛一条边，所以最多n-1次就行了。

一开始，源节点到自己的距离为0，到其他节点的距离为∞。
然后对于源节点的 邻接节点 ，比较从源节点加上边的和与其本身距离的值，若小，则更新。
以此类推，循环V - 1次（节点数减1次）
最后检查是否还可以松弛，如果可以，说明有环