矩阵的F-范数 的作用？

Posted 2023-04-23

F-范数 很奇怪 那个矩阵算子范数 是什么啊

作用：F范数是把一个矩阵中每个元素的平方求和后开根号。

应用中常将有限维赋范向量空间之间的映射以矩阵的形式表现，这时映射空间上装备的范数也可以通过矩阵范数的形式表达。

矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。　

如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。

扩展资料：

如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为m*n矩阵全体和m*n维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。

如果范数║·║满足║A║=║UAV║对任何矩阵A以及酉矩阵U,V成立，那么这个范数称为酉不变范数。　

容易验证，2-范数和F-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值，所以由奇异值得到的范数是酉不变的，比如2-范数是最大奇异值，F-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数。　

反过来可以证明，所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系。

参考资料来源：百度百科——矩阵范数

参考技术A 有些矩阵范数不可以由向量范数来诱导，比如常用的Frobenius范数(也叫Euclid范数，简称F-范数或者
E-范数)：║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2
(A全部元素平方和的平方根)。容易验证F-范数是相容的，但当minm,n>1时F-范数不能由向量范数诱导
(||E11+E22||F=2>1)。可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。例如定义　║x║=║X║，其中X=[x,x,…,x]是
由x作为列的矩阵。由于向量的F-范数就是2-范数，所以F-范数和向量的2-范数相容。

另外还有以下结论：　║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及 ║AB║F <= ║A║2 ║B║F

这个要具体情况具体分析 参考技术B 同求作用啊 谁给讲讲啊
F范数是把一个矩阵中每个元素的平方求和后开根号，具体作用也不清楚啊

线性代数笔记：Frobenius 范数

Frobenius 范数，简称F-范数，是一种矩阵范数，记为||·||F。

矩阵A的Frobenius范数定义为矩阵A各项元素的绝对值平方的总和开根，即