32章习题—最大流的更新字符串匹配

Posted 2023-02-18 之墨_

$\text{HW 10}$

1. (最大流的更新) 设 $G=(V,E)$是一个源结点为 s 汇结点为 t 的流网络，其容量全部为整数值。假定我们已经给定 G 的一个最大流。
a. 如果将单条边 $(u,v)\in E$ 的容量增加 1 个单位，请给出一个 $O(V+E)$ 时间的算法来对最大流进行更新。
根据最小割最大流定理，如果边$(u,v)$不在某一个最小割中，那么增加$(u,v)$的容量不会改变最大流，此时最大流不需要更新。
如果边$(u,v)$在一个最小割中，在Ford-Fulkerson算法的一次循环中，可以找到一条增广路径，并且最大流将增加，使用广度优先搜索BFS在残存网络中寻找一个增广路径，需要的时间为$O(V+E)$。
b. 如果将单条边 $(u,v)\in E$ 的容量减少 1 个单位，请给出一个 $O(V+E)$ 时间的算法来对最大流进行更新。
如果边$(u,v)$的流量已经小于容量即 $f(u,v)<c(u,v)$，则最大流不需要更新。否则，使用BFS在 $O(V+E)$的时间内确定一条从源到汇包含边$(u,v)$的路径，将路径上所有边容量的均减少1，则最大流会相应减少1，由a可知，可以通过寻找增广路径确定最大流的更新。

2. 对字母表 $\Sigma =a,b$，画出与模式 $ababbabbababbababbabb$ 对应的字符串匹配自动机的状态转换图

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
a	b	a	b	b	a	b	b	a	b	a	b	b	a	b	a	b	b	a	b	b

状态	a	b
0	1	0
1	1	2
2	3	0
3	1	4
4	3	5
5	6	0
6	1	7
7	3	8
8	9	0
9	1	10
10	11	0
11	1	12
12	3	13
13	14	0
14	1	15
15	16	8
16	1	17
17	3	18
18	19	0
19	1	20
20	3	21
21	9	0

3. 给定字符串 $S[0,...n-1],S$ 中仅包含字符 $a,b$。模式串$P[\mathrm{0...}m-1],m\ll n$，且 P 由字符 $a,b,\ast$ 组成，字符 $\ast$ 可以匹配任意单个字符，即$\ast$可以取代 $a$ 或者 $b$，但必须取代一个字符。输出 $P$ 在 $S$ 中所有匹配的位置。例如 $S=ababbab.P=ab\ast$, 输出为 $0,2$。
a. 给出时间复杂度为 $O(n\lg n)$ 的串匹配算法。
（提示: 将问题转化为多项式相乘问题，多项式相乘可通过 FFT 算法获得 $O(n\lg n)$ 的时间复杂度。）
定义字符串的匹配函数为$C(x,y)=P(x)-S(y)$，由于存在字符"*"可以匹配任意字符，所以需要重新定义匹配函数，设字符 * 的数值为0，则匹配函数为$C(x,y)=[P(x)-S(y){]}^{2}P(x)S(y)$，则当字符匹配时，满足$C(x,y)=0$，即P的第x个字符和S的第y个字符匹配。由此，再定义完全匹配函数$T(x)={\sum }_{i=0}^{m-1}[P(i)-S(x-m+i+1){]}^{2}P(x)S(y)$，当$T(x)=0$，则说明称S以第x位结束的连续m位，与模式串P完全匹配。通过上述定义匹配函数，翻转模式串P，将完全匹配函数整理得到卷积形式，即将问题转换为多项式相乘的问题后，就可以使用FFT算法即可在$O(n\lg n)$时间内解决

b. 考虑增大字符种类，$S$ 中包含字符 $A,C,G,T$ 字符，而 $P$ 中包含 $A,C,G,T,\ast$ (DNA 链匹配问题），可根据 $a$ 中结论得出 $O(n\lg n)$ 的算法。
定义匹配函数，设字符"*"的数值为0，则匹配函数为：
$$C(x,y)=[P(x)-S(y){]}^{2}P(x)S(y)$$
​ 完全匹配函数为：
$$T(x)=\sum _{i=0}^{m-1}[P(i)-S(x-m+i+1){]}^{2}P(x)S(y)$$
​ 将模式串P翻转，设：
$$X(i)=P(m-i-1)$$
​ 则完全匹配函数为
$$T(x)=\sum _{i=0}^{m-1}[X(m-i-1)-S(x-m+i+1){]}^{2}X(m-i-1)S(x-m+i+1)]$$
​ 展开得到