傅里叶变换后频率为0 的点应该怎么理解

Posted 2023-04-14

我处理的数据时水流中的压力脉动的信号，经过傅里叶变换之后，信号的波峰值应该在100Hz（叶轮的叶频）左右，但是我处理出来却在频率为0的点出现极大的幅值，请问这个点处出现极大的幅值应该怎么理解呢？

相当于压力的积分[压力函数下的面积]，你看看福利变换中，令w=0就知道了。也可以理解为 直流分量[恒定不变的分量]追问

那这个压力的积分应当怎么理解呢？从我做出来的东西看，好像频率为0处的幅值是等于该点静压值的。
但是压力对时间的积分应当怎么理解呢？

追答

频率为0处的幅值是等于该点静压值的，这是对的。压力是变化的，可以分解为 一个 恒定不变的分量+ 变化的分量；
这个压力 是 时间函数吧，那么计算傅里叶变换时，令频率=0，如果是连续傅里叶变换，相当于对 压力函数积分；如果是做离散的傅里叶变换，就是对 压力的求和。

追问

如果频率为0处的幅值等于该点静压值，那在做离散的傅里叶变换时，不应该是对压力在时间上求平均么？
你说的求和是指的在频域上的求和么？
谢谢你的回答，能否加你QQ 进一步讨论呢？

追答

你用的是DFT吗？那个计算公式中，令频率=0，就是对压力在时间上的求和。当然除以点数N就是平均值了。还要看你用的DFT公式，有的除以N，有的不除以N；但是都能反映出频谱

追问

用的FFT，
但是对压力在时间上求和是表示什么意义呢？？

追答

FFT是DFT的快速算法；频率=0，恒定的分量；对压力在时间上求和的结果 反映了恒定不变的分量。压力x(n)=[X(0)+X(1)e^jw0n+X(2)e^j2w0n+...]/N，X(0)=对压力在时间上求和的结果，X(0)/N表示直流[不随时间变化]分量

参考技术A 直流分量，即所采集的数据不是交流信号为主，而是直流信号为主。 参考技术B 压力中的恒定量？压力不变，并且比较大的量。

无痛理解傅里叶变换

连续傅里叶变换

对于任意的一个函数$f(t)$：

它往往可以被分解成多个不同的频率下sin cos 函数的组合：

所以为了去捕捉每个不同频率下的sin cos的“成分”，一个直观的想法就是，对于每个频率$w$，我们分别计算$sin(wt)$函数和$cos(wt)$函数与目标函数的“相似度”，而这个相似度可以用内积来计算：

内积越大则意味着他们越相似，既然如此，一个直观的想法就是去计算：

$$\begin{gathered} F_{sin}(w)=\int f(t)\sin (wt)dt \\ {F}_{cos}(w)=\int f(t)\cos (wt)dt \end{gathered}$$

这里$F_{sin}(w)$其实就表示这个函数$f$与频率为$w$的sin函数的相似性，那有没有一种可能，同时计算sin和cos两种相似性呢？答案是可以，我们可以用复数来实现！

根据欧拉公式，$e^{iwt}$其实可以分解成cos和sin两项，所以我们只需要计算

$$F(w)=\int f(t)e^{iwt}dt$$

这个其实就是一个傅里叶变换了（出于传统习惯，我们一般会用$e^{-iwt}$，但其实这并不影响的），所以实数项就是与cos函数的相似度，虚数项就是与sin函数的相似度。

离散傅里叶变换

离散傅里叶变换其实就是考虑$f(t)$的采样点，比如我们有$f(t_1),f(t_2),f(t_3),f(t_4)$ 这4个点，那么离散傅里叶变换会认为这个$t=0,1,2,3$，而频率分别取$w=2\pi ,\frac{2\pi }{4},2\ast \frac{2\pi }{4},3\ast \frac{2\pi }{4}$来计算他们与$\sin (wt)$和$\cos (wt)$的相似度，即:

$$\begin{gathered} F_{sin}(w)=\sum _{t=0,1,2,3}f(t)\sin (wt) \\ {F}_{cos}(w)=\sum _{t=0,1,2,3}f(t)\cos (wt) \end{gathered}$$

写成欧拉的形式就是

$$F(w)=\sum _{t=0,1,2,3}f(t)e^{iwt}$$

快速离散傅里叶变换（FFT）

理解快速离散傅里叶变换的关键在于，意识到：

F ( 2 π ) = ∑ t = 0 , 1 , 2 , 3 f ( t ) e i 2 π t = f ( t 1 ) + f ( t 2 ) + f ( t 3 ) + f ( t 4 ) F ( 2 π 4 ) = ∑ t = 0 , 1 , 2 , 3 f ( t ) e i 2 π 4 t = f ( t 1 ) + f ( t 2 ) e i 2 π 4 + f ( t 3 ) ( e i 2 π 4 ) 2 + f ( t 4 ) ( e i 2 π 4 ) 3 F ( 2 ∗ 2 π 4 ) = ∑ t = 0 , 1 , 2 , 3 f ( t ) ( e i 2 π 4 t ) 2 = f ( t 1 ) + f ( t 2 ) ( e i 2 π 4 ) 2 + f ( t 3 ) ( e i 2 π 4 ) 4 + f ( t 4 ) ( e i 2 π 4 ) 6 F ( 3 ∗ 2 π 4 ) = ∑ t = 0 , 1 , 2 , 3 f ( t ) ( e i 2 π 4 t ) 3 = f ( t 1 ) + f ( t 2 ) ( e i 2 π 4 ) 3 + f ( t 3 ) ( e i 2 π 4 ) 6 + f ( t 4 ) ( e i 2 π 4 ) 12 F( 2\\pi ) =\\sum _t=0,1,2,3 f( t) e^i2\\pi t =f( t_1) +f( t_2) +f( t_3) +f( t_4)\\\\ F\\left(\\frac2\\pi 4\\right) =\\sum _t=0,1,2,3 f( t) e^i\\frac2\\pi 4 t =f( t_1) +f( t_2) e^i\\frac2\\pi 4 +f( t_3)\\left( e^i\\frac2\\pi 4\\right)^2 +f( t_4)\\left( e^i\\frac2\\pi 4\\right)^3\\\\ F\\left( 2*\\frac2\\pi 4\\right) =\\sum _t=0,1,2,3 f( t)\\left( e^i\\frac2\\pi 4 t\\right)^2 =f( t_1) +f( t_2)\\left( e^i\\frac2\\pi 4\\right)^2 +f( t_3)\\left( e^i\\frac2\\pi 4\\right)^4 +f( t_4)\\left( e^i\\frac2\\pi 4\\right)^6\\\\ F\\left( 3*\\frac2\\pi 4\\right) =\\sum _t=0,1,2,3 f( t)\\left( e^i\\frac2\\pi 4 t\\right)^3 =f( t_1) +f( t_2)\\left( e^i\\frac2\\pi 4\\right)^3 +f( t_3)\\left( e^i\\frac2\\pi 4\\right)^6 +f( t_4)\\left( e^i\\frac2\\pi 4\\right)^12 F(2π)=t=0,1,2,3∑​f(t)ei2πt=f(t1​)+f(t2​)+f(t3​)+f(t4​)F(42π​)=t=0,1,2,3∑​f(t)ei42π​t=f(t1​)+f(t2​)e用matlab进行傅里叶变换。傅里叶变换得到的相位谱、幅值谱有啥用？怎么分析？

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