算法训练 石子游戏 python

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了算法训练 石子游戏 python相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

参考技术A 算法训练 石子 游戏

问题描述

  石子 游戏 的规则如下:

  地上有n堆石子,每次操作可选取两堆石子(石子个数分别为x和y)并将它们合并,操作的得分记为(x+1) (y+1),对地上的石子堆进行操作直到只剩下一堆石子时停止 游戏 。

  请问在整个 游戏 过程中操作的总得分的最大值是多少?

输入格式

  输入数据的第一行为整数n,表示地上的石子堆数;第二行至第n+1行是每堆石子的个数。

输出格式

  程序输出一行,为 游戏 总得分的最大值。

样例输入

10

5105

19400

27309

19892

27814

25129

19272

12517

25419

4053

样例输出

15212676150

数据规模和约定

1 n 1000,1 一堆中石子数 50000

思路:

运用贪心算法思想,每次都取石子数量最多和第二多的两堆石子进行合并操作(进行排序操作后取前两个数),即可得到每次操作的得分为最大,最后再将每次的操作得分最大值相加求和即可得到整个 游戏 过程中操作的总得分的最大值。

代码:

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数据结构与算法之深入解析“石子游戏IV”的求解思路与算法示例

一、题目要求

  • Alice 和 Bob 两个人轮流玩一个游戏,Alice 先手。
  • 一开始,有 n 个石子堆在一起,每个人轮流操作,正在操作的玩家可以从石子堆里拿走任意非零平方数个石子。
  • 如果石子堆里没有石子了,则无法操作的玩家输掉游戏。
  • 给你正整数 n ,且已知两个人都采取最优策略,如果 Alice 会赢得比赛,那么返回 True ,否则返回 False。
  • 示例 1:
输入:n = 1
输出:true
解释:Alice 拿走 1 个石子并赢得胜利,因为 Bob 无法进行任何操作。
  • 示例 2:
输入:n = 2
输出:false
解释:Alice 只能拿走 1 个石子,然后 Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利(2 -> 1 -> 0)。
  • 示例 3:
输入:n = 4
输出:true
解释:n 已经是一个平方数,Alice 可以一次全拿掉 4 个石子并赢得胜利(4 -> 0)。
  • 示例 4:
输入:n = 7
输出:false
解释:当 Bob 采取最优策略时,Alice 无法赢得比赛。
如果 Alice 一开始拿走 4 个石子, Bob 会拿走 1 个石子,然后 Alice 只能拿走 1 个石子,Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利(7 -> 3 -> 2 -> 1 -> 0)。
如果 Alice 一开始拿走 1 个石子, Bob 会拿走 4 个石子,然后 Alice 只能拿走 1 个石子,Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利(7 -> 6 -> 2 -> 1 -> 0)。
  • 示例 5:
输入:n = 17
输出:false
解释:如果 Bob 采取最优策略,Alice 无法赢得胜利。

二、求解算法

① 动态规划

  • 我们用 f[i] 表示先手在面对 i 颗石子时是否处于必胜态(会赢得比赛),由于先手和后手都采取最优策略,那么 f[i] 为必胜态,当且仅当存在某个 f[i−k2] 为必败态。也就是说,当先手在面对 i 颗石子时,可以选择取走 k2 颗,剩余的 i−k2 颗对于后手来说是必败态,因此先手会获胜。
  • 可以写出状态转移方程:

  • 边界条件为 f[0]=false,即没有石子时,先手会输掉游戏。
  • 最终的答案即为 f[n]。
  • C++ 示例:
class Solution 
public:
    bool winnerSquareGame(int n) 
        vector<int> f(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) 
            for (int k = 1; k * k <= i; ++k) 
                if (!f[i - k * k]) 
                    f[i] = true;
                    break;
                
            
        
        return f[n];
    
;
  • Java 示例:
class Solution 
    public boolean winnerSquareGame(int n) 
        boolean[] f = new boolean[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) 
            for (int k = 1; k * k <= i; ++k) 
                if (!f[i - k * k]) 
                    f[i] = true;
                    break;
                
            
        
        return f[n];
    

② 双人博弈通用解法—记忆化 DFS

  • AB 双方博弈问题的两个关键点:
    • 用元组记录结果,本题不需要,A 为 true,B 即为 false;
    • A 先手完, 以剩下的石子看 B 是先手;
  • dfs 搜索每次能拿的各种情况,有一种赢则能赢。
  • Java 示例:
class Solution 

    Boolean dp[];
    public boolean winnerSquareGame(int n) 
        dp = new Boolean[n + 1];
        return dfs(n);
    

    private boolean dfs(int n) 
        if (n == 0) 
            return false;
        
        if (dp[n] != null) 
            return dp[n];
        
        // 拿i个, 遍历所有情况, 有一种赢即赢
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) 
            // res为对方的博弈结果, res为false即自己赢
            boolean res = dfs(n - i * i);
            if (!res) 
                dp[n] = true;
                return true;
            
        
        dp[n] = false;
        return false;
    

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