传送门
题目描述
It‘s Christmas time! PolandBall and his friends will be giving themselves gifts. There are n n Balls overall. Each Ball has someone for whom he should bring a present according to some permutation p, p{i}≠i for all i.
Unfortunately, Balls are quite clumsy. We know earlier that exactly k of them will forget to bring their gift. A Ball number i will get his present if the following two constraints will hold:
Ball number i will bring the present he should give. Ball x such that p{x}=i will bring his present. What is minimum and maximum possible number of kids who will not get their present if exactly k Balls will forget theirs?
思路
首先看到题目的时候，人肯定是懵逼的，完全不知道怎么做。
观察一段时间后，可以发现，如果从第i个人到这个人要送礼物给的第a{i}个人连一条有向线段，那么可以将整个图变成一堆闭合的环状结构，例如下面这个情况：
通过观察图片，可以得到这样的结论： 
然后陷入懵逼循环，直到看了题解2333333
首先，题目让求最大值和最小值，那么就分别考虑
最大值时：
因为取不到礼物的人最多，所以可以想到这应该是一个贪心，贪心的策略是这样的：首先考虑取一个人而使两个人都没有礼物的情况，也就是说，如果a要给b礼物，那么选了a以后就绝对不会选b，此时我们从环入手，如果是偶环，那么很好办，只需要n/2个人就可以使n个人都没有礼物qwq，但是如果是奇环，按照我们的贪心策略，两个两个贪之后会有1个人剩余，那么我们先不去管这个人，继续去看别的环，如果能按原先的贪心策略取够k个人，那么我们就不去管之前剩下的人了。但是如果把所有的环都取了，还取不够k个人，那么就要回过头去考虑之前剩下的人，这样贪心就可以最大值贪出来。
int left=k; //剩余的人
int weipipei=0; //奇环未进行匹配的人
for(register int i=1;i<=cnt;i++){
if(huan[i]/2<=left){ //如果还能匹配整个环
left-=huan[i]/2;
maxans+=huan[i]/2*2;
}
else{ //如果剩下的人太少，不能匹配整个环
maxans+=left*2;
left=0;
}
if(huan[i]&1)weipipei++; //奇环，加剩下的人
}
maxans+=min(left,weipipei); //最后再加取最小值时：
显然每个环都取完是有最小，当然，不一定能保证刚好取一定数目的环可以使k个人刚好被取完，所以如果无法刚好取一定数目的环使人数总和为k时，剩下的人就要在余下的环中继续去取，这样的最小值为k+1，而如果刚好可以取一些环，使总和为k，那么最小值为k。
显然，这样分析完之后，就会发现这是一个多重背包，因为每种环的数目有限，要在所有种类的环中选一定数量的环，使其总和为k。 那么定义bool数组dp[i]为当选的人数为i是能否能用完整的还来表示，所以如果dp[k]的值为1，那么说明可以刚好凑出，答案为k，否则答案为k+1。
但是注意，这道题的数据范围很大，所以不能把一个种类的环拆分成单独的一个一个，然后做01背包，一定要用二进制优化，拆分为1，2，4，8，16……然后再做01背包，这样可以节省很多时间
int temp=0;
for(register int i=1;i<=cnt;i++){
if(huan[i]==huan[i-1])shu[temp]++;
else {
shu[++temp]++;
re[temp]=huan[i]; // tong ji shu ju
}
}这段代码是说，当时统计的时候是用cnt来表式第几个环，数组的值是环的大小，这样不好进行二进制优化，因为我们不知道每种大小的环有多少，所以shu数组表示环的多少，re数组表示环的大小。
cnt=0;
for(register int i=1;i<=temp;i++){
for(register int j=1;shu[i]>0;j<<=1){
int leftt=min(shu[i],j);
opt[++cnt]=leftt*re[i];
shu[i]-=leftt;
}
}进行二进制优化，opt数组记录二进制优化后，每种环拆开后的情况。
for(register int i=1;i<=cnt;i++){
for(register int j=k;j>=opt[i];j--){
if(dp[j-opt[i]])dp[j]=1;
}
}一个简单的背包23333
一个小细节
读入的时候要用scanf，不然会TLE qwq
附上完整代码（跟网上的题解几乎一摸一样qwq）
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[1000005],huan[1000005],shu[1000005],re[1000005],opt[1000005];
bool vis[1000005];
bool dp[1000005];
inline int cmp(int a,int b){
return a<b;
}
int dfs(int now,int from,int dep){
if(now==from)return dep;
else {
vis[now]=1;
dfs(a[now],from,dep+1);
}
}
int maxans=0;
int main(){
dp[0]=1;
int n,k;
cin>>n>>k;
for(register int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
int cnt=0;
for(register int i=1;i<=n;i++){
if(vis[i]==0){
huan[++cnt]=dfs(a[i],i,1);
}
}
sort(huan+1,huan+cnt+1,cmp);
// qiu zui da zhi ------ tan xin
int left=k;
int weipipei=0;
for(register int i=1;i<=cnt;i++){
if(huan[i]/2<=left){
left-=huan[i]/2;
maxans+=huan[i]/2*2;
}
else{
maxans+=left*2;
left=0;
}
if(huan[i]&1)weipipei++;
}
maxans+=min(left,weipipei);
// qiu zui xiao zhi ------duo chong bei bao
int temp=0;
for(register int i=1;i<=cnt;i++){
if(huan[i]==huan[i-1])shu[temp]++;
else {
shu[++temp]++;
re[temp]=huan[i]; // tong ji shu ju
}
}
cnt=0;
for(register int i=1;i<=temp;i++){
for(register int j=1;shu[i]>0;j<<=1){
int leftt=min(shu[i],j);
opt[++cnt]=leftt*re[i];
shu[i]-=leftt;
}
}
for(register int i=1;i<=cnt;i++){
for(register int j=k;j>=opt[i];j--){
if(dp[j-opt[i]])dp[j]=1;
}
}
int minans=k;
if(!dp[k])minans++;
cout<<minans<<‘ ‘<<maxans<<endl;
}