CF1042D - Petya and Array

Posted 2023-02-16 Luowaterbi

题目：

求满足区间和小于t的区间数量。

题解：

区间的数量可以转换成固定右端点，求满足条件的左端点的个数。

满足条件的区间$[l+1,r]$：
$$\begin{gathered} sum[r]-sum[l]<t \\ sum[r]-t<sum[l] \end{gathered}$$
会发现这是一个关于$sum$的单点修改(增加)，区间(前缀)查询的问题。可以选择线段树、树状数组等方法解决。我选择用权值线段树。

首先，权值线段树求$x$的rank本质上就是求前缀和。那我们可以转换一下问题，对于当前位置$i$,有$i$个前缀。其中有${\sum }_{j=0}^{i-1}(sum[i]-t\ge sum[j])$个是不合法的。相减即可得到答案。

• 前缀和可能很大，但是数量很少，需要离散化（我没有用规范的离散化，我只适用快排之后用下标表示数字）；

• 注意当区间长度为$i$的时候，对应$sum[l=0]=0$，这个要在开始循环之前加进去。用$sum[i]$表示前缀和时，$sum[0]$正好是这个作用，所以离散化时$sum$数组长度不能是$n$，而是$n+1$。但是由于离散化，update的时候对应的不再是$sum[0]$的下标$0$，而是离散化后的位置！因为前缀和可能存在小于0的情况。

• 要求的是小于等于$sum[i]-t$的数量，那么lower_bound显然不合适：

  • 因为当离散化后的$sum$没有正好等于$sum[i]-t$的数的时候，此时返回的下标比$sum[i]-t$大，那计算的时候不合法情况会增多；
  • 由于我用的不是完全的离散化，当离散化后的$sum$有多个等于$sum[i]-t$的数时，lower_bound返回的是第一个的下标（离散后的值），就会导致计算时缺少情况。

• 选用upper_bound,对计算后的下标$-1$即可。

AC代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <iomanip>
#include <cstdlib>
#include <stack>
#include <cstring>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define repp(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);i++)
#define lep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--) 
#define lepp(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);i--)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long,long long>
#define mp make_pair
#define All(x) x.begin(),x.end() 
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f 
#define multi int T;scanf("%d",&T);while(T--) 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N=2e5+5;
const int mod=1e9+7;
const db eps=1e-6;                                                                            
const db pi=acos(-1.0);
int n,m,tr[N<<2],a[N];
ll sum[N],t;
void update(int d,int l,int r,int x)
    if(l==r)
        tr[d]+=1;
        return ;
    
    int lc=d<<1,rc=lc|1,mid=(l+r)>>1;
    if(x>mid) update(rc,mid+1,r,x);
    else update(lc,l,mid,x);
    tr[d]=tr[lc]+tr[rc];

ll query(int d,int l,int r,int x)
    int lc=d<<1,rc=lc|1,mid=(l+r)>>1;
    if(x<l) return 0;
    if(tr[d]==0||x>=r) return tr[d];
    if(x>mid) return tr[lc]+query(rc,mid+1,r,x);
    else return query(lc,l,mid,x);

int main()
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("D:\\\\work\\\\data.in","r",stdin);
    #endif
    cin>>n>>t;
    rep(i,1,n)
        cin>>a[i];
        sum[i]=a[i]+sum[i-1];
    
    // rep(i,1,n) sum[i+n]=sum[i]-t;
    sort(sum,sum+n+1);//实际上是一个离散化的过程，前缀和值域太大，数量很少
    ll res=0,ans=0;
    // if(a[1]<t) ans++;
    // update(1,1,n,lower_bound(sum+1,sum));
    // update(1,0,n,0); 错误写法，这个0是为了保证只有自己一项的前缀和；但是0不一定在“0位置”
    update(1,0,n,lower_bound(sum,sum+n+1,0)-sum);
    rep(i,1,n)
        res+=a[i];
        int pos_t=upper_bound(sum,sum+n+1,res-t)-sum;
        ans+=i;
        ans-=query(1,0,n,pos_t-1);
        int pos=lower_bound(sum,sum+n+1,res)-sum;
        update(1,0,n,pos);
    
    cout<<ans<<endl;