聊一聊世界杯里的数学知识

Posted 2023-02-16 ╰つ栺尖篴夢ゞ

一、前言

• 2022 年卡塔尔世界杯足球赛已经开幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛。除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、首次由从未进过世界杯决赛圈的国家举办的世界杯足球赛。
• 世界杯足球赛里蕴含着丰富的数学知识，今天就来聊聊这里面的知识，欢迎大家一起来探讨。

二、年月日

• 世界杯足球赛每四年举行一届，每个举办的年份都是平年，1930 年举办第一届世界杯。1930、1934、1938、1950、1954、1958、1962、1966、1970、1974、1978、1982、1986、1990、1994、1998、2002、2006、2010、2014、2018、2022，今年的世界杯是第 22 届。
• 卡塔尔世界杯比赛将会进行 28 天，从 2022 年 11 月 21 日（北京时间）开始，到 2022 年 12 月 18 日结束。
• 本次世界杯揭幕战于当地时间 11 月 20 日 19 时（北京时间 11 月 21 日 0 时）进行，由东道主卡塔尔对阵厄瓜多尔。
• 可见，卡塔尔当地时间和北京时间相差 5 小时，中国北京是在东八区时区，卡塔尔是东三区时区。

三、排列组合

• 参加世界杯的国家有 32 个（俗称 32 强），每四支球队为一组，在第一轮单循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其它各国进行一场比赛，赛出 16 强后，进入淘汰赛，每两个国家用一场比赛定胜负，产生 8 强、4 强、2 强，最后决出冠亚军和第 3、4 名。至此，本届世界杯的所有比赛结束。那么，世界杯的足球赛全程共有几场？
• 想要解决上面的这个问题，首先要弄清楚单循环赛、双循环赛、淘汰赛。
• • 单循环赛：所有参加比赛队均能相遇一次，每两队之间只赛一场。
• • 双循环赛：双循环是所有参加比赛的队均能相遇两次，最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次。
• • 淘汰赛：输了就出局，赢了继续比赛。
• 在卡塔尔世界杯中，32 支球队共分成 8 组，每组 4 支球队，每组进行单循环赛，前 2 名晋级。以 A 组为例，每支球队要和剩下的球队比赛一场，所以比 3 场，所以每组需要比 3+2+1=6（场）或 4×3÷2=6（场）。如下所示，可以用画图、列表、连线等方法得出结果。

• 这里卡塔尔—厄瓜多尔和厄瓜多尔—卡塔尔是同一场比赛。如果是双循环赛，那么就有主客场，卡塔尔—厄瓜多尔和厄瓜多尔—卡塔尔就是两场比赛，所以有 4×3=12（场），如果 n 个队进行单循环赛，每个队要进行（n-1）场比赛，所以一共要进行 n(n-1)÷2 场比赛；如果 n 个队进行双循环赛，一共要共进行 n(n-1) 场比赛；
• 一支球队，在世界杯至少要进行 3 场比赛。因为小组赛是单循环赛，需要和剩下 3 支球队都比赛一场：

• 想要在世界杯夺冠，需要进行几场比赛？由上图可知，共 7 场比赛，小组赛三场、16 强、8 强、 4 强、冠军赛。那么，世界杯中有共几支球队进行 7 场比赛？不止冠亚军队，由于世界杯规则需要决出三四名，所以前 4 名都要进行 7 场比赛。
• 32 支球队分别进行几场比赛？
• • 16 支球队只进行 3 场比赛，就会被淘汰；
• • 8 支球队进行 4 场比赛，进入 16 强后多比赛一场，淘汰；
• • 4 支球队进行 5 场比赛，进入 8 强后多比赛一场，淘汰；
• • 4 强的 4 支球队都进行 7 场比赛。
• 自 1998 年世界杯足球赛决赛阶段由 24 支球队扩充为 32 支球队参加以来，每一届都进行共 64 场比赛，分析过程如下：
• • 小组赛是单循环赛，每小组 4 支球队，进行 6 场比赛；8 个组共进行 8×6 = 48（场）比赛；
• • 每组前 2 名进入淘汰赛，共 16 队，决出冠军，需要 16-1=15（场），还要决出第 3、4 名，又多了一场，淘汰赛共 15+1=16（场）；
• • 一共有 48+16=64（场）。