LDA 原理说明

Posted 2023-03-29

参考技术A

LDA为latent Dirichlet allocation的简称，是一个生成式模型，是一种主题模型，无监督度学习方法。其基本假设是一篇文档是一个词袋，由多个词组成，与词的顺序无关，它可以有多个主题（topic），并且文档中的词都和这些主题相关。这里使用sparse dirichlet的原因是，一个主题中的词的概率分布是被修剪过得，所以仅有一小部分词的概率较大，这就和实际场景更加贴近

先定义几个简写表示：
①　词袋表示为D，词袋中有V个词，里面有M篇文档，每个文档的长度为Ni（文档中含有N个词）;
②　α为每个文档的主题分布的先验dirichlet分布的参数；（这里简单说明一下dirichlet分布，见文章最后）
③　β为每个主题词分布的先验dirichlet分布的参数 ；
④　Θi文档i的主题分布，为多项式分布，但受到参数为α的Dirichlet先验分布控制；
⑤　φk为主题k的词分布，k∈[0，K]，为多项式分布，但受到参数为β的Dirichlet先验分布控制；
⑥　ωij为具体的词，这是和①中的已知量，其他的均为变量；
⑦　zij为第i篇文档的第j个词的主题；

统计说明如下：

从dirichlet分布α中取样生成文档i的主题分布Θ i （Θ i ~Dir(α)，α<1）

从主题k的多项式分布φ k 中取样生成的文档i的第j个词的主题z ij

从dirichlet分布β中取样生成主题词z ij 的词语分布φz ij

从词语的多项式分布φz ij 中重采样最终生成词语ω ij

那么，模型的联合分布（生成词w的概率）为：

最终，文档i的单词分布集对Θ i 、φ求积分，对z ij 求和，（因为有一篇文档假设由K个主题组成，每个主题k满足多项式分布，并且文档包含j个词）得到：

根据p(ω i |α,β)的最大似然估计，最终可以通过EM/吉布斯采样估计出模型中的参数。

对文档中的所有词遍历一遍为其随机分配一个主题（zij），即zij符合mult(1/K)，将文档i中k主题出现的次数、文档i中主题数量和、k主题对应的某个词的次数、主题k的总词数,这4个变量都加1。
之后，开始重复迭代寻优。

例如，文档i的词ωij对应的主题为k，根据LDA中topic sample的概率分布sample出新的主题，更新对应的上述4个变量分布加1

迭代完成后，输出主题-词参数矩阵φ和文档-主题矩阵Θ

beta分布的x∈[0,1]，是实数，概率密度为x (α-1)(1-x) (β-1),其中α，β>0，这和bernoulli 分布形式上类似，但是bernoulli的x取值为0或1。

当选择不同α和β时，beta分布的pdf为：

说明：

pdf为连续型变量的概率密度函数

beta分布是针对一个x变量，dirichlet分布是针对多个随机变量，通常标记为Dir(α)，表示连续多元概率分布，参数α>0，是beta分布的扩展，通常被用于贝叶斯统计中的一种先验分布。

对于两个随机变量（k=2）的pdf分布如下图：

dirichlet分布的pd如下所示：

共轭：假定一个先验分布A，将该先验分布的参数带入另外的一个分布中，得到后验证分布，如果该后验分布和该先验分布有相同的形式，则称为共轭（conjugacy）。

beta分布是bernoulli（二项式分布）的共轭先验分布为共轭，dirichlet为multinomial（多项式分布）的共轭先验分布。

参考链接：

<u>https://en.wikipedia.org/wiki/Latent_Dirichlet_allocation</u>

https://blog.csdn.net/MeituanTech/article/details/80804170

wiki中文版

LDA和PCA降维的原理和区别

 LDA算法的主要优点有：

• 在降维过程中可以使用类别的先验知识经验，而像PCA这样的无监督学习则无法使用类别先验知识。
• LDA在样本分类信息依赖均值而不是方差的时候，比PCA之类的算法较优。

LDA算法的主要缺点有：

• LDA不适合对非高斯分布样本进行降维，PCA也有这个问题。
• LDA降维最多降到类别数k-1的维数，如果我们降维的维度大于k-1，则不能使用LDA。当然目前有一些LDA的进化版算法可以绕过这个问题。
• LDA在样本分类信息依赖方差而不是均值的时候，降维效果不好。
• LDA可能过度拟合数据。

PCA算法的主要优点有：

• 仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。　
• 各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。
• 计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。
• 当数据受到噪声影响时，最小的特征值所对应的特征向量往往与噪声有关，舍弃能在一定程度上起到降噪的效果。

PCA算法的主要缺点有：

• 主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。
• 方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。

 

 LDA与PCA

相同点：

• 两者均可以对数据进行降维。
• 两者在降维时均使用了矩阵特征分解的思想。
• 两者都假设数据符合高斯分布。

不同点：

• LDA是有监督的降维方法，而PCA是无监督的降维方法。（LDA输入的数据是带标签的，PCA输入的数据是不带标签的）
• LDA降维最多降到类别数k-1的维数，而PCA没有这个限制。（PCA采用的是最大的特征所对应的特征向量来进行降维的处理。降到的维数和选择的最大特征的个数有关）
• LDA除了可以用于降维，还可以用于分类。（降维后得到一个新的样品数据，要确定某一个未知的样本属于那一类，对该样本进行同样的线性变换，根据其投影到的位置来进行分来（判别分析问题？））
• LDA选择分类性能最好的投影方向，而PCA选择样本点投影具有最大方差的方向。