[Codeforces]849E Goodbye Souvenir

Posted 2020-10-06 ACMLCZH

　　又是一道比较新的模板题吧，即使是在Codeforces上小C还是贴了出来。

 

Description

　　给定一个长度为n的序列a1~an，每个元素代表一种颜色。m次操作，每次操作为两种中的一种：

　　　　1 p x：将第p个位置上的颜色修改为x；

　　　　2 l r：询问[l,r]区间，求该区间内的每种颜色的“最大出现位置-最小出现位置”之和。

Input

　　第一行两个正整数n、m；

　　第二行n个整数，表示a1~an；

　　接下来m行，每行表示一个如题所示的操作。

Output

　　对于每个操作2，输出题目所求的答案。

Sample Input

　　7 6
　　1 2 3 1 3 2 1
　　2 3 7
　　2 1 3
　　1 7 2
　　1 3 2
　　2 1 6
　　2 5 7

Sample Output

　　5
　　0
　　7
　　1

HINT

　　1 ≤ n，m ≤ 100 000，1≤ ai ≤ n；

　　1 ≤ p，x ≤ n，1 ≤ l ≤ r ≤ n。

 

Solution

　　应该说入手这道题还是很容易的，不管后面是怎么做，我们首先可以判定它是一道数据结构题。

　　我们考虑对于每个元素，我们维护上一个出现它的颜色的位置。

　　这样似乎就成为了我们很熟悉的矩形询问一类的问题。我们类比一下询问区间的颜色种数怎么做：

　　第一维代表区间下标，第二维代表上一次出现该颜色的位置，要维护的信息是该位置出现的次数（其实只有0和1），目的是求和。

　　同理这一题似乎同样可以这么做：

　　第一维代表区间下标，第二维代表上一次出现该颜色的位置，要维护的信息是 区间下标与上一次出现的位置的差 ，目的是求和。

　　这样似乎就很完美，我们可以直接树套树……然后并不能很爽地通过该题，因为炸空间了。

　　那这可咋办呀，我们就可以用到我们神奇的分治算法——cdq分治！

 

　　cdq算法的主要思想就是将操作区间分成两半，计算前一半操作对后一半询问的影响。

　　这样就相当于将在线的修改去掉，将询问改为离线。

　　这也就要求询问具有可合并性，如果操作之间会互相影响，cdq就不管用了。

　　例如操作是加法而询问是取max，这样的询问是不满足可合并性的。

　　对于这道题，每个操作对于答案的影响是独立的，且每次修改颜色都会改变至多6次我们所维护的信息：

　　设pre[x]为上一次出现该color[x]的位置，suc[x]为下一次出现color[x]的位置。而我们只要维护pre[x]。

　　假设修改pre[x]，改之后的pre[x]为npre[x]，suc[x]同理。

　　要修改的所有信息为：pre[x]，pre[suc[x]]，pre[nsuc[x]]。

　　对于每个信息在二维平面上的操作是一次单点减和一次单点加，所以总共是3*2=6次。

　　完全转化成离线操作后，就只有询问矩形和了，把询问排序用一个普通线段树都是可以做的。

　　每次操作出现在logm个分治区间里，单个操作的复杂度是logn，所以总时间复杂度O(mlogmlogn)。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <set>
#define ll long long
#define MM 264005
#define MN 500005
using namespace std;
struct meg{int ki,pos,lf,rf,val,aps;}px[MN];
struct node{int g,x,y;}b[MM];
set <int> se[MM];
ll t[MM],ans[MM];
int c[MM][4],las[MM],pre[MM],col[MM];
int MQ,n,m,pxin;

inline int read()
{
    int n=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<‘0‘ || c>‘9‘) {if(c==‘-‘)f=-1; c=getchar();}
    while (c>=‘0‘ && c<=‘9‘) {n=n*10+c-‘0‘; c=getchar();}
    return n*f;
}

inline void getadd(int x,int z) {for (x+=MQ;x;x>>=1) t[x]+=z;}
inline ll getsum(int x,int y)
{
    register ll lt=0;
    for (x+=MQ,y+=MQ;x<=y;x>>=1,y>>=1)
    {
        if ( x&1) lt+=t[x++];
        if (~y&1) lt+=t[y--];
    }
    return lt;
}

bool cmp(const meg& a,const meg& b) {return a.pos<b.pos || a.pos==b.pos && a.ki<b.ki;}
void solve()
{
    sort(px+1,px+pxin+1,cmp);
    register int i;
    for (i=1;i<=pxin;++i)
        if (px[i].ki==0) {if (px[i].lf) getadd(px[i].lf,px[i].val);}
        else ans[px[i].aps]+=getsum(px[i].lf,px[i].rf)*px[i].val;
    for (i=1;i<=pxin;++i) if (px[i].ki==0&&px[i].lf) getadd(px[i].lf,-px[i].val);
}

void work(int L,int R,int gs)
{
    if (!gs||L==R) return;
    int i,qet=0,mid=L+R>>1;
    pxin=0;
    for (i=L;i<=mid;++i)
        if (b[i].g==1)
        {
            px[++pxin]=(meg){0,b[i].x,c[i][0],0,c[i][0]-b[i].x,0};
            px[++pxin]=(meg){0,b[i].x,c[i][1],0,b[i].x-c[i][1],0};
            px[++pxin]=(meg){0,c[i][2],b[i].x,0,b[i].x-c[i][2],0};
            px[++pxin]=(meg){0,c[i][2],c[i][0],0,c[i][2]-c[i][0],0};
            px[++pxin]=(meg){0,c[i][3],c[i][1],0,c[i][1]-c[i][3],0};
            px[++pxin]=(meg){0,c[i][3],b[i].x,0,c[i][3]-b[i].x,0};
        }
    for (i=mid+1;i<=R;++i)
        if (b[i].g==2)
        {
            px[++pxin]=(meg){1,b[i].x-1,b[i].x,b[i].y,-1,i};
            px[++pxin]=(meg){1,b[i].y  ,b[i].x,b[i].y, 1,i};
            ++qet;
        }
    solve(); work(L,mid,gs-qet); work(mid+1,R,qet);
}

int main()
{
    register int i,x,qet=0;
    n=read(); m=read();
    pxin=0;
    for (MQ=1;MQ<n;MQ<<=1); --MQ;
    for (i=1;i<=n;++i)
    {
        col[i]=x=read();
        las[i]=pre[x]; pre[x]=i;
        se[x].insert(i);
        px[++pxin]=(meg){0,i,las[i],0,i-las[i],0};
    }
    for (i=1;i<=m;++i)
    {
        b[i].g=read(); b[i].x=read(); b[i].y=read();
        if (b[i].g==1)
        {
            set<int> ::iterator k;
            k=se[col[b[i].x]].lower_bound(b[i].x);
            if (k!=se[col[b[i].x]].begin())    --k,c[i][0]=*k,++k; else c[i][0]=0;
            if ((++k)!=se[col[b[i].x]].end()) c[i][2]=*k; else c[i][2]=0;
            se[col[b[i].x]].erase(--k);
            col[b[i].x]=b[i].y;
            k=se[col[b[i].x]].lower_bound(b[i].x);
            if (k!=se[col[b[i].x]].end()) c[i][3]=*k; else c[i][3]=0;
            if (k!=se[col[b[i].x]].begin()) c[i][1]=*(--k); else c[i][1]=0;
            se[col[b[i].x]].insert(b[i].x);
        }
        else
        {
            px[++pxin]=(meg){1,b[i].x-1,b[i].x,b[i].y,-1,i};
            px[++pxin]=(meg){1,b[i].y  ,b[i].x,b[i].y, 1,i};
            ++qet;
        }
    }
    solve(); work(1,m,qet);
    for (i=1;i<=m;++i) if (b[i].g==2) printf("%I64d\n",ans[i]);
}

 

Last Word

　　感觉这题会让人觉得恶心的只有set的插入删除操作了。

　　相比树套树，只需要用到普通线段树还是比较赏心悦目的。