城市交通 NOI C＋＋

Posted 2023-03-08

某城市有n（1≤n≤50）个街区，某些街区由公共汽车线路相连，如在下图中，街区1，2有一条公共汽车线路相连，且由街区1至街区2的时间为34分钟。由于街区与街区之间的距离较近，与等车时间相比可忽略不记，所以这个时间为两趟公共汽车的间隔时间，即平均的等车时间。
由街区1至街区5的最快走法为1-3-5，总时间为44分钟。
例图：
0 34 24 0 0
34 0 10 12 0
24 10 0 16 20
0 12 16 0 30
0 0 20 30 0

现在市政府为了提高城市交通质量，决定加开m(1≤m≤10)条公共汽车线路。若在某两个街区a，b之间加开线路（前提是a、b之间必须已有线路），则从a到b的旅行时间缩小为原来的一半（距离未变，只是等车的时间缩短了一半）。例如，若在1，2之间加开一条线路，则时间变为17分钟，加开两条线路，时间变为8.5分钟，以此类推。所有的线路都是环路，即如果由1至2的时间变为17分钟，则由2至1的时间也变为17分钟。

求加开某些线路，能使由城市1至城市n的时间最少。例如，在上图中，如果m=2，则改变1-3，3-5的线路，总的时间可以减少为22分钟。
输入：第一行为城市数n与加开线路数m；第二行至第n+1行，每行为n个实数，第i+1行第j列表示由城市i到城市j的时间。如果时间为0，则城市i不可能到城市j。
注意：输入数据中，从城市1到城市n至少有一条路线。
输出：第一行为由城市1到城市n的最小时间X（保留小数点后两位）；第二行至第m+1行为更改的线路。每行由两个整数（x，y）构成。表示将城市x与城市y之间增加一条线路

附：此图中起点与终点间只有一个站，若有多个站，算法是否会有不同？

分析：《城市交通》问题的图论模型很简单。如果只考虑从城市1到城市n的最少时间，那么，这个问题就是一道经典的最短路径问题。因此，这个问题乍看上去，就给人一种熟悉的感觉。而实质呢？问题的“变数”在于市政府的改革措施很奇特（每加一条公共汽车路线，两个街区之间的旅行时间就缩短为原来的一半），这就弄得人不知所措。是否是关键路径的问题？？显然，这个改革不能分步执行，即它不具有“贪心法”的要求，而如果采用搜索的方法，时间效率会很低。那么该如何解决呢？
还是采用Floyd-Warshall的算法思想。在计算增加m条边的最优解（使最短路下降最快）的过程中，我们同样可以发现：
1、将道路a-b上增加的m条边可以分为如下两个问题（如果k是最短路上的一点）
1. ⑴求a-k增加t条边；
2. ⑵求k-b增加m-t条边。
t可以取从0至m的任意值。问题a-b增加m条边的最优解取决与这两个子问题的最优解。
2、在求m条边的过程中，始终只与增加t条边与增加m-t条边的子问题发生联系。

以上两个特点即为“无后效性”与“最优子问题”。所以，“城市交通”问题可采用动态程序设计方法。设
val[a，b，m]的值为增加m条线路后城市a到城市b的最短路长。其中val[a，b，0]的值为原交通图中边城市a至城市b的最短路，可以直接使用floyd算法计算；
val[a，b，m]=minval[a，k，t]+val[k，b，m-t](其中t为从0到m中的一个数，k为a到b中间的一点) 参考技术A 可以直接在dijkstra里面加一小段，，吧。。。