数据结构与算法图 ( 图的存储形式 | 图的基本概念 | 图的表示方式 | 邻接矩阵 | 邻接表 | 图的创建 | 代码示例 )

Posted 2023-03-08 韩曙亮

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文章目录

一、图的存储形式
二、图的基本概念
三、图的表示方式
- 1、邻接矩阵
- 2、邻接表
四、图的创建 ( 代码示例 )

一、图的存储形式

线性表 中的元素 , 有一个直接前驱和一个直接后继 ;

树中的元素 , 有一个直接前驱和多个直接后继 ;

图中的元素 , 有多个直接前驱和多个直接后继 ;

图数据结构中 , 每个结点是一个元素 , 可以有 0 个或多个相邻元素 , 两个结点之间的连接称为边 ;

在下面的图中 , A ~ G 是结点 , 结点之间的连接是边 , 每条边可以有权重 ;

二、图的基本概念

图的基本概念 :

顶点 : 图中的结点 ;
边 : 图中结点之间的边 ;
路径 : 边的权重 ;
图的分类 : 边的方向 ;
- 无向图 : 结点之间的边没有方向 ; 上图是一个无向图 ;
- 有向图 : 结点之间的边有方向 ; 节点之间的边有箭头 ;
- 带权图 : 边是有权重的 , 计算时不仅要计算路径 , 还要考虑路径的权重 ;

三、图的表示方式

图的表示方式 :

邻接矩阵 : 二维数组 ;
邻接表 : 链表 ;

1、邻接矩阵

图中有 6 个结点 , 0 ~ 5 ;

使用 6x6 的矩阵表示图 , 第 i 行第 j 列的元素表示结点 i 和结点 j 是否连接 ;

默认情况下 结点与结点本身没有连接 ;

第 0 行第 1 列值为 1 , 表示结点 0 到结点 1 之间有边连接 ;
第 4 行第 5 列值为 1 , 表示结点 4 到结点 5 之间有边连接 ;

2、邻接表

邻接矩阵要为 n 个顶点分配 n x n 大小的空间 , 存储结点间的边是否存在 , 这样会造成一定的损失 ;

邻接表中 , 只存储存在的边 , 不存储不存在的边 ;

邻接表底层数据结构由数组 + 链表组成 ;

上图中 , 邻接表左侧的 0 ~ 5 表示标号为 0 ~ 5 之间的结点 ;

第一行 0 : 1 -> 2 -> 3 ->4 -> 表示结点 0 与 1、2、3、4 四个结点之间存在边 ;

第二行 1 : 0 -> 4 -> 表示结点 1 与 0、4 两个节点之间存在边 ;

第二行 2 : 0 -> 4 -> 5 -> 表示结点 2 与 0、4、5 三个节点之间存在边 ;

四、图的创建 ( 代码示例 )

创建下图的数据结构 , 使用邻接矩阵表示图 ;

使用矩阵表示上图 :

$\\beginbmatrix 0 & A & B & C & D & E \\\\ A & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ B & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ C & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ D & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ E & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ \\endbmatrix$

数据结构分析 :

使用 ArrayList 存储顶点 ;
使用 int[][] 邻接矩阵存储图 ;

代码示例 :

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class Graph 

    /**
     * 图顶点
     */
    private ArrayList<String> vertexList;

    /**
     * 图的邻接矩阵
     */
    private int[][] edges;

    /**
     * 图中边的数据
     */
    private int numOfEdges;

    /**
     *  构造器
     * @param n 顶点个数
     */
    public Graph(int n) 
        // 创建 n x n 邻接矩阵
        edges = new int[n][n];
        // 初始化顶点容器
        vertexList = new ArrayList<>(n);
        // 边数量统计
        numOfEdges = 0;
    

    /**
     * 插入顶点
     * @param vertex 顶点名称
     */
    public void insertVertex(String vertex) 
        vertexList.add(vertex);
    

    /**
     * 插入边
     * @param v1 起始顶点索引
     * @param v2 终止顶点索引
     * @param weight 顶点的权重
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) 
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;

        // 边的数量增加 1
        numOfEdges++;
    

    /**
     * 获取结点个数
     * @return
     */
    public int getNumberOfVertex() 
        return vertexList.size();
    

    /**
     * 获取边的个数
     * @return
     */
    public int getNumberOfEdges() 
        return numOfEdges;
    

    /**
     * 获取指定节点的索引值
     * @param i
     * @return
     */
    public String getVertexByIndex(int i) 
        return vertexList.get(i);
    

    /**
     * 获取 v1 到 v2 的权值
     * @param v1
     * @param v2
     * @return
     */
    public int getWeight(int v1, int v2) 
        return edges[v1][v2];
    

    /**
     * 打印邻接矩阵
     */
    public void showGraph() 
        for (int i = 0; i < edges.length; i++) 
            System.out.println(Arrays.toString(edges[i]));
        
    

    public static void main(String[] args) 
        // 创建图
        Graph graph = new Graph(5);

        // 添加顶点
        graph.insertVertex("A");
        graph.insertVertex("B");
        graph.insertVertex("C");
        graph.insertVertex("D");
        graph.insertVertex("E");

        // 添加边
        graph.insertEdge(0, 1, 1);  // AB
        graph.insertEdge(0, 2, 1);  // AC

        graph.insertEdge(1, 0, 1);  // BA
        graph.insertEdge(1, 2, 1);  // BC
        graph.insertEdge(1, 3, 1);  // BD
        graph.insertEdge(1, 4, 1);  // BE

        graph.insertEdge(2, 1, 1);  // CA
        graph.insertEdge(2, 2, 1);  // CB

        graph.insertEdge(3, 1, 1);  // DB

        graph.insertEdge(4, 1, 1);  // EB

        // 打印临街矩阵
        graph.showGraph();

执行结果 :

> Task :Graph.main()
[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 1, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]