格雷码应用意义及编解码

Posted 2023-03-05 KuoGavin

文章目录

• • • 1. 格雷码的应用意义
    • 2. 由自然数编码获得格雷码
    • • 2.1 对称法实现
      • 2.2 公式法实现
    • 3. 由格雷码解码获得自然数

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1. 格雷码的应用意义

学过晶体管知识的朋友们都知道，数据位跳变就相当于硬件电路中的晶体管翻转。许多位同时跳变就相当于多个晶体管同时翻转，会导致电路中出现很大的尖峰电流脉冲，从而导致数据不稳定。

在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同，则称这种编码为格雷码（Gray Code），另外由于最大数与最小数之间也仅一位数不同，即“首尾相连”，因此又称循环码或反射码。在数字系统中，常要求代码按一定顺序变化。例如，按自然数递增计数，若采用$8421$码，则数$0111$变到$1000$时四位均要变化，而在实际电路中，$4$位的变化不可能绝对同时发生，则计数中可能出现短暂的其它代码（$1100$、$1111$等）。在特定情况下可能导致电路状态错误或输入错误。使用格雷码可以避免这种错误。格雷码有多种编码形式。

其重要特征是一个数变为相邻的另一个数时，只有一个数据位发生跳变，由于这种特点，就可以避免电路中出现亚稳态而导致数据错误。简而言之，格雷码的一位改变特征减小了电路出错概率，实际很多场合也用到了格雷码。

四位格雷码如下图所示：

更多内容，可见百度百科「格雷码」。

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2. 由自然数编码获得格雷码

leetCode当中关于格雷码的生成有：89. 格雷编码、1238. 循环码排列

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2.1 对称法实现

当是$0$位格雷码时，格雷码序列即为$[0]$。

如果我们获取了$n-1$位格雷码序列，并记为$G_{n-1}$，可以使用它构造获得$n$位格雷码序列$G_n$。具体方法如下：

• 将$G_{n-1}$复制一份并进行反转，记为$G_{n-1}^T$；
• 将$G_{n-1}^T$中每个元素的第$n-1$个二进制位均从$0$变为$1$，得到$(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$。这里最低的二进制位为第$0$个二进制位；
• 将$G_{n-1}$和$(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$进行拼接，得到$G_n$。

证明如下：

• 由于$G_{n-1}$是$[0,2^{(-1})$的排列，那么其中每个元素的第$n-1$个二进制位都是$0$。进而，$(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$是$[2^{n-1},2^n)$的排列，所以$G_n=G_{n-1}+(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$就是$[0,2^n)$的排列；
• 对于$G_{n-1}$和$(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$的内部，每对相邻整数的二进制恰好有一位不同。对于$G_{n-1}$最后一个数和$(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$第一个数，它们只有第$n-1$个二进制位不同。对于$G_{n-1}$第一个数和$(G_{n-1}^T{)}^{\prime }$最后一个数，它们也仅有第$n-1$个二进制位不同。

因此，$G_n$就是满足要求的$n$位格雷码序列。对应的cpp代码为：

class Solution 
public:
    vector<int> grayCode(int n) 
        vector<int> ans;
        ans.push_back(0);
        for (int i = 1; i <=n; ++i) 
            int t = ans.size();
            for (int j = t-1; j >= 0; --j) 
                //ans.push_back(ans[j] + (1 << (i-1)));
                //这里+，|运算等效，因为0|A=A，且这里是按位或
                ans.push_back(ans[j] | (1 << (i-1)));
            
        
        return ans;
    
;

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2.2 公式法实现

也可以由公式直接求出，第$i(i\ge 0)$个格雷码为：$g_i=i\oplus \lfloor \frac{i}{2}\rfloor$

其中$\oplus$表示按位异或运算，正确性证明如下：

• 当$i$为偶数时，$i$和$i+1$只有最低的一个二进制位不同，而$\lfloor \frac{i}{2}\rfloor$和$\lfloor \frac{i+1}{2}\rfloor$相等，进而异或之后$g_i$和$g_{i+1}$也只有最低的一个二进制位不同；
• 当$i$为奇数时，我们记$i$的二进制表示为 $(\cdots 01\cdots 11{)}_2$，$i+1$ 的二进制表示为 $(\cdots 10\cdots 00{)}_2$，即：
  • i

    以上是关于格雷码应用意义及编解码的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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