算法基础

Posted 2023-02-14 秋风Haut

这周我的任务是看完算法导论的第二章。这一章前言介绍了这章的主要讲述重点：伪代码、设计和分析算法的基本框架、怎样正确地分析算法的运行时间。并以归并排序为例子讲述这种方法的运用。

伪代码跳过。
插入排序虽然会写代码，也debug过，但还是描述一下，插入排序的做法与排序扑克牌非常相似，排序扑克牌时，所有的操作的数据分为三部分：已排序的、未排序的和正在排序的。
通常我们的操作是，从未排序的牌堆中取出一张牌，这张牌就是正在排序的，将这张牌与已排好序的牌从头到尾的比较，直到找到xi

for j=2 to a.length
    key=a[j]
    //insert a[j] into the sorted sequence a[1...j-1]
    i=j-1;
    while i > 0 and a[i] > key
        a[i+1] = a[i];
        i=i-1;
    a[i+1]= key;

以上是对未排序的牌堆中的每一张牌都进行同一个操作，就是将该牌与已排序的牌从尾至头依次比较，当前牌小于已排序的牌时，将已排序的牌向后移一个位置，只有当当前牌大于已排序的牌时，才将当前牌放到已排序牌堆的当前位置。这其实相当于一个操作，每次当当前牌小于已排序的牌时，交换两张牌的位置。直到当前牌大于已排序的牌。然后退出循环，取出未排序牌堆中下一张牌。进行同样操作。（这一段描述比较模糊）

按照伪代码，实现代码如下：

public static void insertSort(int[] array,int length)
        for(int i=1;i<array.length;i++)
            for(int j=i-1;j>=0;j--)
                if(array[i] < array[j]) 
                    change(array,i,j);
                
            
        
    

书中还讲到了循环不变式：
循环不变式主要用来帮助我们理解算法的正确性。对于循环不变式，我们需要证明三条性质（在我看来，这也是算法需要保证的三点）：
初始化：循环的第一次迭代之前，它为真。
保持：如果循环的某次迭代之前它为真，那么下次迭代之前它仍为真
终止：在循环终止时，
不变式为我们提供一个有用的性质，该性质有助于证明算法是正确的。

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2.2 分析算法

如上表格所示，这一节对我的最大启示就是，算法其实，是很清晰又严谨的。
它会计算每步代码计算的次数（ci 时间在这一节的前面部分已经简化成了每步代码的执行时间是定值）。
这样一来：插入排序的时间复杂度就是这些语句的执行时间总和：
对于while语句之前的代码，毫无疑问对于数组的每个元素都会执行，差别只在while的语句块。
对于最好的情况，是该数组已经排好序，那么while语句块只进行判断而内部语句块没有执行，则该算法的执行总时间为：
c1*n + c2*(n-1) + 0 (n -1 ) + c4(n-1)+c5 * (n-1) + c8 * (n-1)=(c1+c2+c4+c5+c8)n-(c2+c4+c5+c8)
该式子是关于n的线性函数。因此算法的执行时间与输入规模是成正比。即可以说该算法的时间复杂度是O(n)

而在最坏情况下，该数组被逆序排序。那么对于数组从第2个元素开始的每个元素，都会执行while语句块，则while语句块的执行时间分析如下：
对于语句4，数组中从第2个元素开始，都将会执行，由于数组已逆序排序，因此，对于n-1个元素，while语句块都将会执行。代入求和公式，将得出while语句块的执行时间为
c5 * (n-1) + c6 * ((n-1)(n-1+1)/2) + c7 * ((n-1)(n-1+1)/2)
由于格式限制，不再具体写出公式，不过很容易看出，语句5 语句6的执行总时间都与n成二次关系。
写出来总结果就是：
T=( c5/2 + c6/2 + c7/2)n^2 + (c1+c2+c4+c5/2-c6/2-c7/2 + c8)n - (c2+c4+c5+c8)
以上，ci的时间在具体物理机器上，均视为常量。

以上，可以清晰的得出插入排序算法的时间复杂度：最好时为O(n)，最坏时为O(n^2)

在书中指出对最坏情况与平均情况的分析，书中说，大多数情况下，我们致力于求解算法的最坏情况的时间复杂度，有三个理由：
1、算法的最坏运行时间给出了任何输入的运行时间的一个上界。
2、对某些算法，最坏情况经常出现，比如在数据库检索中，经常出现没有要查找的元素的情况，这种情况下，最坏情况总是经常发生
3、很多时间，平均情况与最坏情况一样差。

事实上这一节看完，对于真正理解的算法，都是可以非常严谨地计算时间和空间复杂度的。

2.3设计算法

2.3节讲解了设计算法的分治思想。
使用分治模式设计算法时一般分为三个步骤：
1、分解；将原问题分解为若干子问题，这些子问题是原问题的规模较小的实例
2、解决子问题的解合并成原问题的解

设计算法这一节非常重要。
在书中，开头有一句话：我们可以选择使用的算法设计技术有很多。插入排序使用了增量方法：在排序子数组A[1..j-1]后，将单个元素A[j]插入子数组的适当位置，产生排序好的子数组A[1..j]。
这句话有几点很有趣：
一、算法设计事实上也是一门技术。与编程语言一样，没有什么神秘的。
二、插入排序使用了增量方法。

我们可以从中，理解出一点意思，算法并不是牛人学者们凭空想出来的，而是在一定的思想的指导下，与实际问题相结合为解决问题而设计出的解决方案。

这一节，将会使用分治思想，设计一种新的排序算法，即归并排序。
分治思想在设计时，会涉及三个步骤：
一、分解 将原问题分解为与原问题类似同结构的子问题
二、解决 依次将子问题解决
三、合并 将子问题的解合并成为原问题的解。

分解：将n个元素的排序，分解为n/2个元素的排序
解决：将n/2个元素进行排序，一般情况下，会一直分解到数组只剩下1或2个元素，可以直接排序。才不再分解
合并：将n/2个元素的排序结果进行合并，得到原数组n个元素的排序结果。毕。

仔细思考归并排序，事实上，该排序算法会对数组元素进行疯狂的遍历，可证明，归并排序，会对数组进行6NlogN次访问

对分治算法的分析：
书中金句：当一个算法包含对其自身的递归调用时，我们往往可以用递归方程或递归式来描述其运行时间，该方程根据在较小输入上的运行时间来描述在规模为n的问题上的总运行时间。

递归式的得出：
书中的过程比较长，但是讲的很清楚又严谨。
如前所术，我们假设T(n)是规模为n的一个问题的运行时间。若问题规模足够小，如对某个常量 c，n<=c，则直接求解需要常量时间，我们将其写作O(1)。假说把原问题分解成a个子问题，每个子问题的规模是原问题的1/b。（对归并排序，a和b都为2，然而我们将看到在许多分治算法中，a!= b )为了求解一个规模为n/b的子问题，需要 T(n/b)的时间，所以需要aT(n/b)的时间来求解a个子问题。如果分解问题成子问题需要时间D(n)，合并子问题的解成原问题的解需要时间C(n)，那么得到 递归式：

对于该递归式，书中使用采用构建递归树的方式证明了其数量级。但事实上，在《算法》中，则是使用迭代的方法，证明了其数量级，我认为两种方法都好。递归树的证明很直观，迭代法证明是高中就学的技巧，因此也非常容易理解。
以下是构建递归树的过程：
为方便起见，假设n刚好是2的幂，图的(a)部分图示了T(n)，它在(b)部分被扩展成一棵描绘递归式的等价树。项cn是树根（在递归的顶层引起的代价），根的两根子树是两个较小的递归式T(n/2)，(c)部分图示了通过扩展T(n/2)再推进一步的过程。

接着，我们将这棵树的所有代价相加。顶层具有总代价cn，下一层具有总代价c(n/2)+c(n/2)=cn，下一层的下一层具有总代价c(n/4)+c(n/4)+c(n/4)+c(n/4)=cn，等等。一般来说，顶层之下的第i层具有2^i个结点，每个结点的代价是c(n/2^i)，因此，每层的代价之和，依旧是cn。直到最后一层，该层共有n个结点，每个结点的代价是c，该层代价之和依旧是cn。

递归树的总层数：
可以从推断得知，递归式中n=1时，递归树只有树根，层数为1。因为lg1=0，因此lgn+1给出了正确的层数。作为归纳假设，现在假设具有2^i个叶的递归树的层数为lg2^i+1=i+1。因为我们假设输入规模是2的幂，因此下一个要考虑的是输入规模是2^(i+1)，从树的结构可知，具有2^(i+1)个叶子的树要比具有2^i的树多一层，因此，其总层数就是(i+1)+1=lg2^(i+1) + 1。

因此递归式的总代价，就是每层代价乘以递归树的层数，即：cn * lgn+1= cnlgn + cn，忽略低阶项和常量c，便 得出归并排序算法的时间复杂度是O(nlgn)

迭代方式 的证明，以高中知识即可证明。此处略。