数据结构—二叉树完全二叉树的性质

Posted 2023-03-02 之墨_

# 1
若一棵度为4的树中度为1、2、3、4的结点个数分别为4、3、2、2，则该树的总结点个数是多少？

正确答案：
答案：结点总数n=n0+n1+n2+n3+n4，又由于除根结点外，每个结点都对应一个分支，所以总的分支数等于n-1。而度为i（0≤i≤4）的结点的分支数为i，所以有：总分支数=n-1=0×n0+1×n1+2×n2+3×n3+4×n4。综合两式得：n0=n2+2n3+3n4+1=3+2×2+3×2=14，则n=n0+n1+n2+n3+n4=14+4+3+2+2=25，所以该树的总结点个数是25。

我的答案：
由树的性质，树的总结点个数为树的总度数+1
所以总结点个数为8+6+6+4+1 = 25
# 2
若一棵度为4的树中度为2、3、4的结点个数分别为3、2、2，总结点个数为25，则该树中度为1的结点个数是多少？

正确答案：
答案：结点总数n=n0+n1+n2+n3+n4，又由于除根结点外，每个结点都对应一个分支，所以总的分支数等于n-1。而度为i（0≤i≤4）的结点的分支数为i，所以有：总分支数=n-1=0×n0+1×n1+2×n2+3×n3+4×n4。综合两式得：n0=n2+2n3+3n4+1=3+2×2+3×2=14，则n=n0+n1+n2+n3+n4，n1=n-n0-n2-n3-n4=25-14-3-2-2=4，所以该树中度为1的结点个数是4。

我的答案：
设度为1的结点个数为x
由树的性质总结点个数等于总度数+1得方程2 x+2*3+3*2+4*2 +1= 25
解得x = 4
所以度为1的结点个数是4
# 3
对于度为m的树T，其高度为h，则最少的结点个数和最多的结点个数分别是多少？

正确答案：
答案：第i层最多有mi-1个结点，所以最多结点个数=1+m+m2+…+mh-1=(mh-1)/(m-1)。
最少结点的情况是：某一层有m个结点，其他每层只有一个结点，此时结点个数=m+(h-1)=m+h-1。
 

我的答案：
最少有m+h-1个
最多有(m^h-1)/(m-1)个
4
对于含有n个结点的m次树，采用孩子链存储结构时，其中空指针域的个数有多少？

正确答案：
答案：该m次树中有n个结点，采用孩子链存储结构时，每个结点有m个指针，总指针域个数=m×n。又由于分支数=n-1，而每个分支是由一个非空指针域引出的，所以总的非空指针域个数=n-1，因此，空指针域的个数=总指针域个数-空指针域的个数=m×n-(n-1)=n(m-1)+1。

我的答案：
对于m次树，它的非空指针域就等于它的边数等于结点个数-1，所以非空指针域有 n-1个
总的指针域有nm个
所以空指针域 = 总指针域 - 非空指针域
空指针域的个数有 nm - (n-1) = n(m-1)+1
# 5
任意一个有n个结点的二叉树，已知它有m个叶子结点，试证明有(n-2m+1)个度数为1的结点。

正确答案：
答案：
证明：设n1为二叉树中度为1的结点数，n2为度2的结点数，则总的结点数为：
n=n1+n2+m
根据二叉树的性质1可知n0=n2+1，即n2=n0-1=m-1，所以有n=n1+n2+m=n1+2m-1，则n1=n-2m+1。

我的答案：
度数之和等于分支数
因为在二叉树中 ：
度数之和 = n1 + 2n2
n0 = n2 + 1
分支数 = n - 1
 n = n0 + n1 + n2
所以 n0 = m = n2 + 1
所以n1 = n- m- n2 = n - m + 1 = n - 2m +1
# 6
为什么说一棵非空完全二叉树，仅已知叶子结点个数n0，其树形是不能确定的。

正确答案：
答案：
由完全二叉树的特性可知，一旦结点个数n确定了，其树形也就确定了。当只有n0已知时，n2=n0-1，n=n0+n1+n2=2n0-1+n1，而n1可以为0或1，也就是说，n=2n0-1或n=2n0，其结点总数不确定，所以该完全二叉树的形态是不能确定的。

我的答案：
因为如果对于只有一个结点和有两个结点的完全二叉树来说，这两棵树都只有一个叶子结点，即n0  = 1，但树形不一样，所以，对于一棵非空完全二叉树，仅已知叶子结点数n0，树形是不确定的