2.3 非齐次方程组解集
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了2.3 非齐次方程组解集相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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反表示法
非齐次方程组如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，那么就有了自由变量，这个时候就需要写出它的解集。对于这种线性代数的基本功，确实有不少算法，比如适合手算的反表示法，适合计算机的算法，还有广义逆法。这里先介绍考试用的反表示法，比如以下方程：
x
+
y
+
z
=
1
x+y+z=1
x+y+z=1
对于这个方程，有三个未知数，但是只有一个方程，所以就有两个自由变量，那么以
x
,
y
x,y
x,y为自由变量，用
x
,
y
x,y
x,y来反表示
z
z
z，就是以下结果：
z
=
1
−
x
−
y
z=1-x-y
z=1−x−y
那么解就是这个样子：
(
x
y
z
)
=
(
x
y
1
−
x
−
y
)
\\beginpmatrixx\\\\y\\\\z\\endpmatrix=\\beginpmatrixx\\\\y\\\\1-x-y\\endpmatrix
xyz
=
xy1−x−y
到了这一步就是进行自由变量的分离了。于是将上式进一步写成：
(
x
y
z
)
=
(
x
y
1
−
x
−
y
)
=
(
0
0
1
)
+
(
x
0
−
x
)
+
(
0
y
−
y
)
\\beginpmatrixx\\\\y\\\\z\\endpmatrix=\\beginpmatrixx\\\\y\\\\1-x-y\\endpmatrix=\\beginpmatrix0\\\\0\\\\1\\endpmatrix+\\beginpmatrixx\\\\0\\\\-x\\endpmatrix+\\beginpmatrix0\\\\y\\\\-y\\endpmatrix
xyz
=
xy1−x−y
=
001
+
x0−x
+
0y−y
所以解集就是：
(
0
0
1
)
+
(
x
0
−
x
)
+
(
0
y
−
y
)
=
(
0
0
1
)
+
x
(
1
0
−
1
)
+
y
(
0
1
−
1
)
\\beginpmatrix0\\\\0\\\\1\\endpmatrix+\\beginpmatrixx\\\\0\\\\-x\\endpmatrix+\\beginpmatrix0\\\\y\\\\-y\\endpmatrix=\\beginpmatrix0\\\\0\\\\1\\endpmatrix+x\\beginpmatrix1\\\\0\\\\-1\\endpmatrix+y\\beginpmatrix0\\\\1\\\\-1\\endpmatrix
001
+
x0−x
+
0y−y
=
001
+x
10−1
+y
01−1
计算机算法
这样反表示，计算并不快，需要一步步拆解，以上面的为例子，进一步研究解的结构，首先看第一部分：
(
0
0
1
)
\\beginpmatrix0\\\\0\\\\1\\endpmatrix
001
这一部分是所有自由变量都为0的结果，所以它的坐标的前两项都是0，那么这个就很容易用程序求出来，也是第一步要求的向量。再看第二部分的其中一个向量：
y
(
0
1
−
1
)
y\\beginpmatrix0\\\\1\\\\-1\\endpmatrix
y如何求这个一阶线性非齐次方程组的通解，奉上我所有积分