2021 ICPC上海 H.Life is a Game（Kruskal重构树）

Posted 2023-02-14 lwz_159

题目描述

题目链接

题目大意

给你一个图，图上有点权和边权。以及q个查询：每个查询给你一个初始位置x和初始能量k。
你每到一个新点上即可获得该点的能量（即点权），但是如果想通过一条边，你的能量总数需要大于边权。
问：可以获取的最大能量数

题目分析

$这道题我们需要用kruskal重构树来解决。$

$kruskal重构树：简单来讲，就是在kruskal算法进行的过程中，我们把最小生成树的边权改为点权。这样，原树$$的节点个数变成2n-1个，并且有着许多有趣的性质。$

$kruskal重构树的性质：$
$1、根据我们构造的过程，这是一个二叉堆$
$2、原树两点之间的边权最大值是重构树上两点lca的权值$
$3、重构树中代表原树中的点的节点全是叶子节点，其余节点都代表了一条边的边权。$
$（kruskal重构图的构造方法在代码里）$

$对kruskal重构树有了基本的了解之后，我们接着往后看。$

$首先我们可以先求出所给图的kruskal重构树，然后dfs求出树的lca倍增数组（根据重构树的性质我们可以发现，$$kruskal重构树和lca基本上都是一起用的）。此外，在dfs的过程中，我们让nw[u]=以u为根的子树中所有点的$$点权和（原图的点）$

$做完前面的准备之后，我们来正式处理每个查询。$

$对于一个查询：u(起点)和s(初始值)。$
$我们从起点u开始往上跳，如果该位置的点权（树上的点权为这棵子树内所有实点的边权最大值）小于我们当前$$能量数（实点权和+初始值），就跳过去，同时更新能量数（新树上的实点权和+初始值）。再继续看能不$$能往上跳\dots \dots 一直到不能再往上跳了为止（因为是通过倍增法向上跳的，所以单次查找的复杂度只有lo{g}_{2}n）$

代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<LL,LL>
#define PDD pair<double,double>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=2e5+5,mod=998244353;
struct Edge				//边集
	int u,v,w;
	bool operator< (const Edge e)const
	 return w<e.w; 
e[N];
vector<int> h[N];
LL nw[N],st[N];			//nw[]记录实体图的点权，st[]记录实体图的边权
int p[N],f[N][20];		//f[][]为倍增法lca的fa数组
int find(int x)			//并查集模板

	if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);
	return p[x];

int kruskal(int n,int m)		//求kruskal重构树的模板

	int cnt=n;
	sort(e,e+m);				//对边排序
	for(int i=0;i<m;i++)		//枚举边
	
		int u=find(e[i].u),v=find(e[i].v),w=e[i].w;
		if(u!=v)			//如果u-v不连通，则连一条边
		
			st[++cnt]=w;					//新建一个点，点权为u-v边权w
			p[cnt]=p[u]=p[v]=cnt;			//将根节点置为新点（保证所以实点都为叶节点）
			h[u].push_back(cnt);			//连边
			h[v].push_back(cnt);
			h[cnt].push_back(u);
			h[cnt].push_back(v);
		
	
	return cnt;

void dfs(int u,int fa)		//求lca的倍增数组

	f[u][0]=fa;
	for(int i=1;i<20;i++) f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
	for(int v:h[u])
	
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,u);
		nw[u]+=nw[v];		//nw[u]更新为以u为根的子树内所以实点的点权和
	

int main()

	cin.tie(0以上是关于2021 ICPC上海 H.Life is a Game（Kruskal重构树）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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