2022山东省赛 B - Minimum Expression（dp）

Posted 2023-02-04 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一个长度为 $n$ 的仅由数字 $1-9$ 组成的字符串，问恰好添加 $m$ 个加号后，等式的最小值是多少

题目分析：不需要考虑前导 $0$，而且仅有加号，不难想到很经典的 $dp[i][j]$，代表前 $i$ 个位置，划分了 $j$ 段后的最小答案，转移方程也是经典的 $dp[i][j]=mi{n}_{0\le k<i}(dp[k][j-1])$，时间复杂度是 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(n^2)$

然后本题需要关注的是，需要用到高精度加法，所以空间复杂度如果正常去想的话，也是 $O(n^3)$ 的

如何优化呢？有个需要想到的思维点是，因为有 $m$ 个加号，所以最终需要分成 $m+1$ 段，我们令每一段的长度尽量相等一定是最优的

如此一来时间复杂度可以优化到 $O(n^2)$，而空间复杂度也可以优化为 $O(n\ast m\ast \frac{n}{m}=n^2)$

用 $python$ 写起来比较简单

代码：

n,m=map(int,input().split())
m=m+1
s=" "+input()
dp=[[-1 for j in range(1010)] for i in range(1010)]
len=n//m
dp[0][0]=0
for i in range(1,n+1):
    for j in range(1,min(i,m)+1):
        for k in range(i-len-2,i-len+3):
            if k>=j-1 and k<i and dp[k][j-1]!=-1:
                if dp[i][j]==-1 or dp[i][j]>dp[k][j-1]+int(s[k+1:i+1]):
                    dp[i][j]=dp[k][j-1]+int(s[k+1:i+1])
print(dp[n][m])