0-1背包问题（回溯法）

Posted 2023-02-04 没谱的曲

前言

在之前的博客中，我写过用动态规划解决的0-1背包问题（具体可查看动态规划（0-1背包问题）），但是在最近刷软考题的时候，发现回溯法也可以解决0-1背包问题，对于回溯法我不是很了解，于是在学习了回溯法之后，我有用回溯法写了0-1背包的算法过程

0-1背包问题

给定n种物品和一背包。物品 i 的重量为 w[i]，其价值为 v[i]，背包的容量为 c。问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

回溯法

回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
我们可以将之理解成，把问题转换成一棵树，通过深度优先搜索的方式，将所有的叶子节点都搜索一遍，在搜索的过程中，我们添加一些限定条件，把不符合条件的节点直接排除，以达到最终的算法目的。当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

问题分析

对于有n种物品的 0-1 背包问题，其解空间由长度为n的 0-1 向量组成，该解空间包含了对变量的所有可能的0-1 赋值。当 n=3 时，其解空间是 (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)
对于n= 3的0-1 背包问题，其解空间可以用一棵完全二叉树表示，从树根到叶子结点的任意一条路径可表示解空间中的一个元素， 如从根结点A到结点J的路径对应于解空间中的一个元素(1, 0, 1)。

运用回溯法解题的关键要素有以下三点：

1. 针对给定的问题，定义问题的解空间；
2. 确定易于搜索的解空间结构；
3. 以深度优先方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

建立二叉树

我们建立一个简单的二叉树模型

	 *        A
     *      /    \\
     *    Y       N          X[0]
     *   / \\     / \\
     *  Y   N    Y   N        X[1]
     * /\\  /\\   /\\   /\\
     * Y N Y N  Y N  Y N       X[2]
     * 8 7 6 5  4 3  2 1

• 通过上面的二叉树我们可以进行问题分析：X[i]表示第i件物品，Y/N代表是否选择该物品
• 当我们三件物品都不选择的时候就来到了1处，相应的我们就可以计算出1处对应的物品价值
• 这时我们回溯到X[1]（第二件物品处），我们选择取第三件物品，这时我们就来到了2处，得出2处的价值后，我们就可以将两处比较，留下价值高的
• 然后再回溯到第一件物品处，选择取第二件物品不取第三件物品，就来到3处，相应的得出价值，进行比较

如此反复可以得到每一处所取物品对应的价值，我们再在其中添加相应的约束条件，所选物品重量相加不能超出背包容量，这样就可以进行剪枝操作

代码实现

通过上述的问题分析，我们就可以开始解决代码部分了

public class KnapsackProblem_2 
    //0-1背包问题（回溯算法）
    //给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。 问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
    
    static int MaximumValue = 0; // 最大价值；当前的最大价值，初始化为0
    static int CurWeight = 0; // 当前放入背包的物品总重量
    static int CurValue = 0; // 当前放入背包的物品总价值


    public static int backtrack(int t, int[] W, int[] v, int C) 
        int N = W.length;// 物品数量
        int[] x = new int[N];// x[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入
        for (int i = 0; i < N; i++) //背包置空
            x[i] = 0;
        
        // 如果是子节点 当前价值和最佳价值做判断 保存最佳价值
        if (t > N - 1) 
            if (CurValue > MaximumValue) 
                MaximumValue = CurValue;
            
            return MaximumValue;
        
        // 如果不是子节点 对子节点进行遍历
        else 
            // 就两种情况 取或不取 用0/1表示
            for (int i = 0; i <= 1; i++) 
                x[t] = i;
                if (i == 0) 
                    // 如果是不取 就不需要进行判断 直接到下一个节点
                    backtrack(t + 1, W, v, C);
                 else
                // 放入背包就进行约束条件 判断放入背包的东西是否合法
                
                    if (CurWeight + W[t] <= C) 
                        CurWeight += W[t];
                        CurValue += v[t];
                        // 当东西装进入背包后你可以进行对下个商品的判断了
                        backtrack(t + 1, W, v, C);
                        //能执行以下两个语句就说明你回溯到了上一个节点 所以你就需要恢复现场 把你刚刚拿的东西退出来 我们要冲上一个节点又要重新来遍历 如果不减你就会多加一遍
                        CurWeight -= W[t];
                        CurValue -= v[t];
                    
                
            
        
        return MaximumValue;
    

代码完成后我们现在来测试一下

public static void main(String[] args) 
        int[] W = 1, 4, 3; // 每个物品的重量
        int[] v = 1500, 4000, 3000;// 每个物品的价值
        int C = 4;//背包容量
        backtrack(0, W, v, C);
        System.out.println(MaximumValue);
    

运行结果：

结果正确！

结语：

学习算法的过程是很漫长的，当你解决了一个问题的时候，不妨多想想有没有别的方法可以解决这个问题，只有反复解决新的问题，勤加练习，多多思考，多向他人请教，才能有更多收获。