Codeforces149 D. Coloring Brackets（区间dp，合法括号序列性质）

Posted 2023-01-30 live4m

题意：

给定合法括号序列s，现在要给每个位置上色，可以涂红色，蓝色，或者不上色
要求：
1.对于一对匹配的括号，必须而且只能有一个括号被上色
2.相邻位置的颜色不能相同，但是可以都不上色
问整个括号串有多少种上色方案，答案对1e9+7取模

数据范围：|s|<=700

解法：

因为是合法括号序列，那么匹配的括号一定是这样的：

匹配的括号一定是不交叉的，下面是一个非法匹配例子：

区间dp，令d[l,r]为区间[l,r]的合法方案数，因为需要满足相邻位置颜色不同，合并的时候需要考虑相邻颜色，
那么令d[l,r,x,y]为区间[l,r]，左端点颜色为x，右端点颜色为y的合法方案数。

因为需要考虑每一对匹配括号的颜色，所以不能将匹配的两端分别放在两个待合并区间，
考虑到匹配边要么是全包含，要么不相交，那么合并的时候可以这样枚举分割线（图中紫色为分割线）：

即对于区间[l,r]，如果l和r是匹配的，这时候是全包含，那么递归处理[l+1,r-1]，
否则找到左端点l的匹配位置p，合并[l,p]和[p+1,r]（显然匹配位置p一定在[l,r]中）。

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxm=705;
const int mod=1e9+7;
int d[maxm][maxm][3][3];
char s[maxm];
int R[maxm];
int n;
void dfs(int l,int r)
    if(l+1==r)//递归终点
        for(int i=0;i<3;i++)
            for(int j=0;j<3;j++)
                if(i&&j)continue;
                if(!i&&!j)continue;
                d[l][r][i][j]=1;
            
        
        return ;
    
    if(R[l]==r)//包含
        dfs(l+1,r-1);
        for(int i=0;i<3;i++)
            for(int j=0;j<3;j++)
                if(i&&j)continue;
                if(!i&&!j)continue;
                for(int x=0;x<3;x++)
                    for(int y=0;y<3;y++)//l+1和r-1不一定是匹配的
                        if(i&&x&&i==x)continue;
                        if(j&&y&&j==y)continue;
                        d[l][r][i][j]+=d[l+1][r-1][x][y];
                        d[l][r][i][j]%=mod;
                    
                
            
        
    else
        int p=R[l];
        dfs(l,p),dfs(p+1,r);
        for(int i=0;i<3;i++)
            for(int j=0;j<3;j++)//l和p不一定匹配
                for(int x=0;x<3;x++)
                    for(int y=0;y<3;y++)//p+1和r不一定匹配
                        if(j&&x&&j==x)continue;
                        d[l][r][i][y]+=d[l][p][i][j]*d[p+1][r][x][y]%mod;
                        d[l][r][i][y]%=mod;
                    
                
            
        
    

signed main()
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    //
    stack<int>stk;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(s[i]=='(')stk.push(i);
        else R[stk.top()]=i,stk.pop();
    
    //
    dfs(1,n);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<3;i++)
        for(int j=0;j<3;j++)
            ans=(ans+d[1][n][i][j])%mod;
        
    
    cout<<ans<<endl;
    return 0;

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