23 重积分

Posted 2023-01-12 炫云云

💖💖感谢各位观看这篇文章，💖💖点赞💖💖、收藏💖💖、你的支持是我前进的动力！💖💖

💖💖感谢你的阅读💖，专栏文章💖持续更新！💖关注不迷路！!💖

文章目录

• 重积分
• • 1 曲顶柱体的体积
  • • 一、实例
    • 二、二重积分的定义
    • 三、二重积分的性质
  • 2 二重积分的计算
  • • 一、在直角坐标系下
    • 二、在极坐标系下
  • 3 三重积分
  • 4 三重积分的计算
  • • 一、直角坐标系下
    • 二、在柱面坐标系下
    • 三、在球面坐标系下
  • 5 重积分的应用

重积分

1 曲顶柱体的体积

一、实例

$\boxed{平面区域直{径}^{\prime }}$ ：区域$\sigma$上任意两端距离最大值。

二、二重积分的定义

设函数$f(x,y)$是定义在平面可求有界闭区域 $D$上的有界函数，如果

$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _i^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$$

存在（则称$f(x,y)$在$D$上可积），极限值为$I$，且$I$的值与对$D$的分法无关，也与$N_i({\xi }_i,{\eta }_i)$在${\sigma }_i$上的取法无关，则称$I$为$f(x,y)$在有界闭区域$D$上的二重积分。记为

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$$

。其中$f(x,y)$称为被积函数，$D$称为积分区域，$d\sigma$称为面积元素，$f(x,y)d\sigma$称为被积表达式。

三、二重积分的性质

$\boxed{中值定{理}^{\prime }}$ ：设$f(x,y)$在有界闭区域$D$上连续，$S$表示$D$的面积，则至少存在一点$(\xi ,\eta )\in D$ 使得${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )S$。

2 二重积分的计算

一、在直角坐标系下

$\boxed{简单区{域}^{\prime }}$ ：平行于$x$轴或$y$轴的直线与区域$D$的边界的交点不多于两个。

$\boxed{X型区{域}^{\prime }}$ ：与$y$轴平行的直线与$D$的边界交点不多于两个。${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_c^{d}f(x,y)dy$

$\boxed{Y型区{域}^{\prime }}$ ：与$x$轴平行的直线与$D$的边界交点不多于两个。${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_c^{d}dy{\int }_a^{b}f(x,y)dx$

若区域$D$是简单区域，则将积分化成两次单积分进行求解；若区域$D$不是简单区域，利用平行于$y$轴或$x$轴的直线把$D$分为若干个简单区域$D_1,D_2,\cdots ,D_n$再分别求解，最后相加。

二重积分${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$

二、在极坐标系下

1. 二重积分由直角坐标变换为极坐标的变换公式：

   假设有界闭区域$D$满足：从极点出发的半直线与$D$的边界的交点不多于两个。

   ∬ D f ( x , y ) d σ = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( x i , y i ) Δ σ i = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ρ i cos ⁡ θ i , ρ i sin ⁡ θ i ) ρ i Δ ρ i Δ θ i = ∬ D f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin

   以上是关于23 重积分的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

   Part 6 二重积分

   积分随想

   二次函数的概念和图像画法

   计算几何学习7

   积分小练习

   数学知识复习：三重积分