线性代数与解析几何——Part4 欧式空间 & 酉空间

Posted 2022-12-15 Espresso Macchiato

• 线性代数与解析几何——Part4 欧式空间 & 酉空间
  • 1. 欧氏空间
    • 1. 定义 & 性质
    • 2. 内积表示与标准正交基
    • 3. 欧氏空间的同构
    • 4. 欧氏空间的线性变换
    • 5. 欧氏空间的子空间
  • 2. 酉空间
    • 1. 定义 & 性质
    • 2. 酉变换
    • 3. Hermite变换
    • 4. 规范变换

1. 欧氏空间

1. 定义 & 性质

定义7.1.1
设$V$是实数域$\mathbf{R}$上的线性空间，如果$V$中的任意两个向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$均按照某一法则对应一个实数，记作$(\mathbf{a},\mathbf{b})$，且满足：

1. 对称性：对任意两个向量$\mathbf{a},\mathbf{b}\in V$，有：
   $$(\mathbf{a},\mathbf{b})=(\mathbf{b},\mathbf{a})$$
2. 线性性：对任意实数$\lambda$和任意三个向量$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in V$，有：
   $$(\lambda \mathbf{a},\mathbf{b})=\lambda (\mathbf{a},\mathbf{b})$$
   $$(\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{c})=(\mathbf{a},\mathbf{c})+(\mathbf{b},\mathbf{c})$$
3. 正定性：对任意一个向量$\mathbf{a}\in V$，有$(\mathbf{a},\mathbf{a})\ge 0$，等号成立当且仅当$\mathbf{a}=0$。

则称$(\mathbf{a},\mathbf{b})$为向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$的内积，定义了内记的实数域$\mathbf{R}$上的线性空间$V$称为欧几里得（Euclid）空间，简称欧氏空间。

对于欧氏空间，有Cauchy-Schwarz不等式：

定理7.1.1（Cauchy-Schwarz不等式）
设$V$是欧式空间，$(\cdot ,\cdot )$是$V$的内积，则对$V$当中的任意两个向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$，有：
$$|(\mathbf{a},\mathbf{b})|\le \sqrt{(\mathbf{a},\mathbf{a})(\mathbf{b},\mathbf{b})}$$

定义 7.1.2
设$V$是欧式空间，$(\cdot ,\cdot )$是$V$的内积，对于任意的$\mathbf{a}\in V$，称
$$|\mathbf{a}|=\sqrt{(\mathbf{a},\mathbf{a})}$$
为$\mathbf{a}$的长度或者模。

模长具有如下性质：

1. 对称性：$d(\mathbf{a},\mathbf{b})=d(\mathbf{b},\mathbf{a})$
2. 正定性：$d(\mathbf{a},\mathbf{b})\ge 0$，等号成立当且仅当$\mathbf{a}=\mathbf{b}$
3. 三角不等式：$d(\mathbf{a},\mathbf{b})\le d(\mathbf{a},\mathbf{c})+d(\mathbf{b},\mathbf{c})$

2. 内积表示与标准正交基

定义7.2.1
在$n$为欧氏空间$V$当中，一组两两正交的非零向量称为正交向量组。由正交向量组构成的基称为正交基。由单位向量组构成的正交基成为标准正交基。

定理7.2.1（Schmidt正交化）
从$n$为欧氏空间$V$的任意一组基出发，可以构造一组标准正交基。

3. 欧氏空间的同构

定义7.3.1
实数域上两个欧氏空间$V$和$V^{\prime }$称为同构的，如果存在一个从$V$到$V^{\prime }$的一一映射$\sigma :V\to V^{\prime }$，满足：

1. $\sigma (\lambda \alpha +\mu \beta )=\lambda \sigma (\alpha )+\mu \sigma (\beta )$
2. $(\sigma (\alpha ),\sigma (\beta ))=(\alpha ,\beta )$

其中，$\alpha ,\beta$为$V$中的两个任意向量，$\lambda ,\mu$是两个任意实数。

定理7.3.1
两个有限维欧氏空间同构的充要条件是他们的维度相同。

4. 欧氏空间的线性变换

定义7.4.1
设$V$是一个$n$维的欧氏空间，$\mathcal{A}$是$V$上的一个线性变换，如果$\mathcal{A}$保持$V$的内积不变，即对于任意两个向量$\mathbf{a},\mathbf{b}\in V$，都有：
$$(\mathcal{A}(\mathbf{a}),(\mathbf{b}))=((a,b))$$
则称$\mathcal{A}$是$V$上的正交变换。

定理7.4.1
设$V$是一个$n$维的欧式空间，$\mathcal{A}$是$V$上的一个线性变换，则$\mathcal{A}$为正交变换当且仅当下列两个条件之一成立：

1. $\mathcal{A}$保持任意向量的模不变；
2. $\mathcal{A}$将标准正交基变换为标准正交基。

定义7.4.2
如果实方阵$\mathbf{A}$满足${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}=\mathbf{I}$或者${\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{A}$，则称方阵$\mathbf{A}$为正交矩阵。

定理7.4.2
欧式空间中的线性变换$\mathcal{A}$是正交变换的充要条件是$\mathcal{A}$在标准正交基下的矩阵$\mathbf{A}$是正交矩阵。

定理7.4.3
设$V$是$n$维欧氏空间，则：

1. 单位变换是正交变换；
2. 两个正交变换的复合仍然是正交变换；
3. 正交变换一定可逆，其逆变换也是正交变换。

由正交矩阵的定义可知，正交矩阵的行列式$det\mathbf{A}=以上是关于线性代数与解析几何——Part4\; 欧式空间\; \&\; 酉空间的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章$

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