理论： 数论：整除gcd以及lcm

Posted 2022-12-13 sun897949163

整除

整除的性质

设a, b是两个整数， 并且b ≠ 0. 如果存在整数c， 使得 a = b * c ， 则称a被b整除， 或者b整除a，记作b |a（这里是a 被 b整除， a >= b）
此时又称a是b的倍数， b是a的因子。如果b不整除a， 记作

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整除基本定义

定义1.1：如果n被2除的余数为 0， 则对于某个整数k， 有n = 2k， 我们称n为偶数；而如果n被2除的余数为1， 我们则对于某个整数k， 有n = 2k + 1， 我们称n为奇数。
定义1.2 ：设a, b是两个整数， 并且b ≠0， 则存在唯一的整数q和r， 使得：
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这个表达式叫做带余式除法， 并记作r = a (mod b); 例如 -13 mod 5 = 3

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整除的性质

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整除的应用

整除的位数
斐波那契整除

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gcd和lcm

基本定义

定义1.3： 设a和b是两个整数， 如果d|a， 并且d|b， 那么我们称d是a与b的公因子。
定义1.4： 设a和b是两个不全为0的整数， 称a与b的公因子中最大的为a与b的最大公因子， 或最大公约数， 记作gcd（a， b）， 有时简记为（a， b）
定义1.5： 设a和b是两个非零证书， 称a与b的最小正公倍数为a与b的最小公倍数， 记作lcm（a， b）， 有时简记为[a, b]

基本运算性质

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关于gcd和lcm的运算

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上述两图就是传说中的欧几里得定理

gcd运算性质的证明

简要证明：

我们之所以说上述的递归式成立，是因为m和n的任何公因子也必定是m和（n mod m）的公因子。
证明上述一句话是基于以下公式
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在这里我们可以由此引入拓展欧几里得定理

完整证明：

设 其中（a,b,q,r）∈Z，则：
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！证：只需证a与b、b与r有相同的公因子。
（1）.设d是a与b的公因子， 即（d|a）且（d|b）。我们注意到
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从而我们可以的得到如下的推导过程：
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这里我们证明了在a|b 的情况下的正确定（就是在上面表达式中gcd（0，n）的正确性）
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（2）.设d是b与r的公因子， 从而我们有如下推导：
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gcd和lcm算法伪码描述

while(max!= 0)
    min→temp
    max mod min→min
    temp→max
return <max>

例题

两仪剑法