随机过程 2 - 随机过程的时域分析
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随机过程的时域分析
文章目录
1. 一般随机过程的相关函数的性质
我们在前面介绍过相关函数的性质。因为相关函数是从内积引出来的，因此，相关函数的性质实际上是来源于内积
( 1 ) R Z ( t , s ) = R Z ( s . t ) ( 2 ) ∣ R Z ( t , s ) ∣ ≤ ( R z ( t , t ) R z ( s , s ) ) 1 2 (1) \\quad R_Z(t,s) = R_Z(s.t) \\\\ (2)\\quad |R_Z(t,s)| \\leq (R_z(t,t) R_z(s,s))^\\frac12 (1)RZ(t,s)=RZ(s.t)(2)∣RZ(t,s)∣≤(Rz(t,t)Rz(s,s))21
2. 宽平稳随机过程的性质
相关函数的性质可以在宽平稳随机过程中得到推广，并且还具有其他的新性质
2.1 偶函数
宽平稳随机过程的相关函数是个偶函数
R Z ( t , s ) = R Z ( t − s ) R Z ( t , s ) = R Z ( s − t ) R Z ( t , s ) = R Z ( t , s ) ⇒ R Z ( t − s ) = R Z ( s − t ) ⇒ R Z ( τ ) = R Z ( − τ ) R_Z(t,s) = R_Z(t-s) \\\\ R_Z(t,s)= R_Z(s-t) \\\\ R_Z(t,s) = R_Z(t,s) \\Rightarrow R_Z(t-s) = R_Z(s-t) \\\\ \\Rightarrow R_Z(\\tau) = R_Z(-\\tau) RZ(t,s)=RZ(t−s)RZ(t,s)=RZ(s−t)RZ(t,s)=RZ(t,s)⇒RZ(t−s)=RZ(s−t)⇒RZ(τ)=RZ(−τ)
2.2 零点取得最大值
∣ R Z ( t , s ) ∣ ≤ ( R Z ( t , t ) R Z ( s , s ) ) 1 2 ⇒ ∣ R Z ( t − s ) ∣ ≤ R Z ( 0 ) |R_Z(t,s)| \\leq (R_Z(t,t) R_Z(s,s))^\\frac12 \\\\ \\Rightarrow |R_Z(t-s)| \\leq R_Z(0) ∣RZ(t,s)∣≤(RZ(t,t)RZ(s,s))21⇒∣RZ(t−s)∣≤RZ(0)
在宽平稳随机过程中，柯西不等式会变成0。也就是相关函数在0点处达到最大值。
这种性质在电子信息领域经常会遇到，很多信号对齐了以后的相关是针形的，而如果信号没有对齐，就是空的。我们常常会用这种方法进行信号的提取
2.3 正定性
2.3.1 正定性的定义
相关函数具有正定性。这是个非常重要的性质
首先给正定性下一个定义
Positive Definite \\textPositive Definite Positive Definite
f ( x ) is P.d. ⇔ ∀ n , ∀ x 1 , x 2 , . . . , x n ( f ( x i − x j ) ) i j ≥ 0 f(x) \\textis P.d. \\Leftrightarrow \\forall n ,\\forall x_1,x_2,...,x_n \\quad (f(x_i - x_j))_ij \\geq 0 f(x)is P.d.⇔∀n,∀x1,x2,...,xn(f(xi−xj))ij≥0
如果函数是正定的，那么任取函数中n个变量，让下标i和下标j的差对应的函数值对应的排列成一个矩阵，这个矩阵一定是正定的。
矩阵正定有很多种等价形式，其中一种就是二次型大于0。不过教科书中通常管大于等于0叫做非负定。我们这里就叫做正定了
A ∈ R n ∗ m ≥ 0 ⇔ ∀ α ∈ R n α T A α ≥ 0 A \\in R^n*m \\geq 0 \\Leftrightarrow \\forall \\alpha \\in R^n \\quad \\alpha^T A \\alpha \\geq 0 A∈Rn∗m≥0⇔∀α∈RnαTAα≥0
2.3.2 从正定性引入相关函数的性质
我们从函数的正定性出发，看看能够得到相关的什么性质
首先证明正定能够得到相关函数是非负的
R Z ( τ ) is P.d. ⇒ R Z ( 0 ) ≥ 0 R_Z(\\tau) \\text is P.d. \\Rightarrow R_Z(0) \\geq 0 RZ(τ) is P.d.⇒RZ(0)≥0
证明
我们就取1个数作为序列。则这个序列差构成的矩阵是正定的
n = 1 ∀ x ⇒ R Z ( x 1 − x 1 ) = R Z ( 0 ) ≥ 0 n = 1 \\\\ \\forall x \\Rightarrow R_Z(x_1 - x_1) = R_Z(0) \\geq 0 n=1∀x⇒RZ(x1−x1)=RZ(0)≥0
然后，能够证明，相关函数在零点处取得最大值
R Z ( τ ) is P.d. ⇒ R Z ( 0 ) ≥ ∣ R Z ( τ ) ∣ R_Z(\\tau) \\text is P.d. \\Rightarrow R_Z(0) \\geq |R_Z(\\tau)| RZ(τ) is P.d.⇒RZ(0)≥∣RZ(τ)∣
n
=
2
,
x
1
=
0
,
x
2
=
τ
∀
x
⇒
(
R
Z
(
x
1
−
x
1
)
R
Z
(
x
1
−
x
2
)
R
Z
(
x
2
−
x
1
)
R
Z
(
x
2
−
x
2
)
)
⇒
(
R
Z
(
0
)
R
Z
(
−
τ
)
R
Z
(
τ
)
R
Z
(
0
)
)
≥
0
n = 2, \\quad x_1 = 0, \\quad x_2 = \\tau \\\\ \\forall x \\Rightarrow \\beginpmatrix R_Z(x_1 - x_1)& R_Z(x_1 - x_2) \\\\ R_Z(x_2 - x_1) & R_Z(x_2 - x_2) \\endpmatrix \\\\ \\Rightarrow \\beginpmatrix R_Z(0)& R_Z(-\\tau) \\\\ R_Z(\\tau) & R_Z(0) \\endpmatrix \\geq 0
n=