概率论基础之一：事件的概率

Posted 2022-12-12 zzulp

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了概率论基础之一：事件的概率相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

第1章组合分析

1.1 计数法则

计数基本法则：有两个试验，试验1有m种可能发生的结果，而对于试验1的每一个结果，试验2有n种可能发生的结果，则对两个试验来说，一共有m*n种可能结果。

计数法则推广：一共有k个试验，第一个试验有 $n_1$ 种可能结果；对于第一个试验的每一种结果，第二个试验有 $n_2$ 种可能结果；对应于前两个试验的每一种试验结果，第三个试验有 $n_3$ 种可能结果；等等，则这r个试验一种有 $n_1 n_2 \\dots n_k$ 种可能结果。

示例：一个句子有3个多义词，每个词都有2种不同的含义，在不考虑上下文的语义情况下，这个句子共有2*2*2=8种不同理解的方式。

1.2 排列与组合

排列计数：按任意顺序来排列n个不同元素，则所有可能的排列方法的种类
为 $P_n^n$

组合计数：从n个不同的元素中取出m个组成一组，则所有可能的取法种类为 $C_n^m$ ，注意m个元素与顺序无关。

示例：有6个字符PPPEER进行排列，共有多少种排列方法。
首先，如果字符是不同的，比如编号为P1 P2 P3 E1 E2 R1，那么排列数为 $6!$
其次，如果认为相同的字符无区别，则这是一个分步组合问题，第一步，为R选择一个位置，第二步为两个E选择两个位置，第三步为3个P选择位置，因此不同方法数为 $C_6^1C_5^2C_3^3=60$

记号： $C_n^m=\\fracP_n^mm!=\\fracn!(n-m)!m!$

1.3 多项式系数

如果 $n_1+n_2+...+n_r=n$ ，定义 $C_n^n_1,n_2,...,n_r = \\fracn!n_1!n_2!...n_r!$ ，其表示n个不同元素分成大小分别为n1,n2,…,nr的r组的方法，也称其为多项式系数。

多项式定理:

(x1+x2...+xr)n=∑(n1...nr):n1+n2+...+nr=nCn1,n2,...,nrnxn11xn22...xnrr $(x_1+x_2...+x_r)^n=\\sum_(n_1...n_r):n_1+n_2+...+n_r=n C_n^n_1,n_2,...,n_rx_1^n_1x_2^n_2...x_r^n_r$

当r=2时，有二项式定理