线性代数
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性代数相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
目录
线性相关性
给定一组向量 x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , x ⃗ 3 , . . . , x ⃗ n \\vecx_1,\\vecx_2,\\vecx_3,...,\\vecx_n x1,x2,x3,...,xn，如果存在不全为0的数 c 1 , c 2 , c 3 , . . . , c n c_1,c_2,c_3,...,c_n c1,c2,c3,...,cn，使得 c 1 x ⃗ 1 + c 2 x ⃗ 2 + . . . + c n x ⃗ n = 0 c_1\\vecx_1+c_2\\vecx_2+...+c_n\\vecx_n=0 c1x1+c2x2+...+cnxn=0则称这组向量线性相关，否则称其线性无关
设
v
⃗
1
,
.
.
.
v
⃗
n
\\vecv_1,...\\vecv_n
v1,...vn是矩阵
A
A
A的列向量（组成列空间
C
(
A
)
C(A)
C(A)）
当
A
A
A的零空间
N
(
A
)
N(A)
N(A)仅包含零向量时，这些列向量线性无关，矩阵A的秩
r
(
A
)
=
n
r(A)=n
r(A)=n，
C
(
A
)
C(A)
C(A)的维数是
n
n
n
否则，这些列向量线性相关，矩阵A的秩
r
(
A
)
<
n
r(A)<n
r(A)<n，
C
(
A
)
C(A)
C(A)的维数
<
n
<n
<n
(秩是矩阵才有的概念，对应向量组的维数)
(回忆秩的定义：矩阵 A A A的主列数目)
基
给定一组向量 v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , . . . v ⃗ d \\vecv_1,\\vecv_2,...\\vecv_d v1,v2,...vd，如果满足
1）线性无关
2）可以生成(通过线性组合)一个向量空间 p p p
则称这组向量是空间 p p p的一组基
1）一个空间的基有无数组
2）一个空间的所有基向量个数相等，称为这个空间的维数（如定义里空间
p
p
p的维数是
d
d
d）
四个基本子空间
给定一个矩阵 A m × n A_m\\times n Am×n，可以构造如下4种基本子空间
| 名称 | 符号 | 维数 | 基 |
|---|---|---|---|
| 列空间 | C ( A ) C(A) C(A) | r r r | 消元后得到的 r r r个主列 |
| 零空间 | N ( A ) N(A) N(A) | n − r n-r n−r | 消元后得到的 n − r n-r n−r个自由列 |
| 行空间 | C ( A T ) C(A^T) C(AT) | r r r | 最简型 R R R的前 r r r行 |
| 左零空间 | N ( A T ) N(A^T) N(AT) | m − r m-r m−r | 左乘 E E E矩阵的后 m − r m-r m−r行 |
- 矩阵列空间的维数 = 行空间的维数=矩阵的秩
- 列空间的秩与零空间的秩参考线性代数（1）的“零空间”
行空间
初等行变换化简
A
=
[
1
2
3
1
1
1
2
1
1
2
3
1
]
⇒
[
1
2
3
1
0
−
1
−
1
0
0
0
0
0
]
⇒
[
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
]
(1)
A=\\left[\\beginmatrix1&2&3&1\\\\1&1&2&1\\\\1&2&3&1\\endmatrix\\right]\\Rightarrow \\left[\\beginmatrix1&2&3&1\\\\0&-1&-1&0\\\\0&0&0&0\\endmatrix\\right]\\\\\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\Rightarrow \\left[\\beginmatrix1&0&1&1\\\\0&1&1&0\\\\0&0&0&0\\endmatrix\\right] \\tag1
A=⎣⎡111212323111⎦⎤⇒⎣⎡1002代数57 ----平面直角坐标变换