数学杂谈：限制条件下的均匀分布考察
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数学杂谈：限制条件下的均匀分布考察相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1. 问题描述
假设 x 1 , . . . , x n x_1, ..., x_n x1,...,xn均为 0 ∼ 1 0 \\sim 1 0∼1上的均匀分布，且满足限制条件：
x 1 + x 2 + . . . + x n = 1 x_1 + x_2 + ... + x_n = 1 x1+x2+...+xn=1
求此时 x i x_i xi的真实分布表达式。
2. 问题解答
1. 答案
限制条件下 x x x的密度函数表达式如下：
f n ( x ) = ( n − 1 ) ⋅ ( 1 − x ) n − 2 f_n(x) = (n-1) \\cdot (1-x)^n-2 fn(x)=(n−1)⋅(1−x)n−2
2. 解析
我们可以快速地给出推导公式为：
f n ( x ) = ∫ 0 1 − x d t 1 ∫ 0 1 − x − t 1 d t 2 . . . ∫ 0 1 − x − t 1 − . . . − t n − 3 d t n − 2 ∫ 0 1 d t 1 ∫ 0 1 − t 1 d t 2 . . . ∫ 0 1 − t 1 − . . . − t n − 2 d t n − 1 f_n(x) = \\frac\\int_0^1-xdt_1 \\int_0^1-x-t_1dt_2 ... \\int_0^1-x-t_1-...-t_n-3dt_n-2\\int_0^1dt_1 \\int_0^1-t_1dt_2 ... \\int_0^1-t_1-...-t_n-2dt_n-1 fn(x)=∫01dt1∫01−t1dt2...∫01−t1−...−tn−2dtn−1∫01−xdt1∫01−x−t1dt2...∫01−x−t1−...−tn−3dtn−2
令
g n ( x ) = ∫ 0 1 − x d t 1 ∫ 0 1 − x − t 1 d t 2 . . . ∫ 0 1 − x − t 1 − . . . − t n − 1 d t n g_n(x) = \\int_0^1-xdt_1 \\int_0^1-x-t_1dt_2 ... \\int_0^1-x-t_1-...-t_n-1dt_n gn(x)=∫01−xdt1∫01−x−t1dt2...∫01−x−t1−...−tn−1dtn
则我们有：
f n ( x ) = g n − 2 ( x ) / g n − 1 ( 0 ) f_n(x) = g_n-2(x) / g_n-1(0) fn(x)=gn−2(x)/gn−1(0)
而 g n ( x ) g_n(x) gn(x)我们可以通过递归关系 g n ( x ) = ∫ 0 1 − x g n − 1 ( 1 − x − t 1 ) d t 1 g_n(x) = \\int_0^1-x g_n-1(1-x-t_1) dt_1 gn(x)=∫01−xgn−1(1−x−t1)dt1快速计算得到：
g n ( x ) = 1 n ! ( 1 − x ) n g_n(x) = \\frac1n!(1-x)^n gn(x)=n!1(1−x)n
因此，我们即可解得：
f n ( x ) = ( n − 1 ) ⋅ ( 1 − x ) n − 2 f_n(x) = (n-1) \\cdot (1-x)^n-2 fn(x)=(n−1)⋅(1−x)n−2
特别地，积分即可快速得到，某一个元素要取值得到至少 τ \\tau τ的概率为： P ( x ≥ τ ) = ( 1 − τ ) n − 1 P(x \\geq \\tau) = (1-\\tau)^n-1 P(x≥数学杂谈：圆上随机落点问题